Задание 1
Вопрос:
Два треугольника равны по третьему признаку равенства треугольников, если ...
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника
2) сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника
3) три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника
Задание 2
Вопрос:
На рисунке АВ = ВС и АD = DC. Если треугольники АВD и СВD равны, то по какому признаку равенства треугольников?
Изображение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) Треугольники АВD и СВD равны по второму признаку равенства треугольников.
2) Треугольники АВD и СВD равны по третьему признаку равенства треугольников.
3) Треугольники АВD и СВD не равны.
4) Треугольники АВD и СВD равны по первому признаку равенства треугольников.
Задание 3
Вопрос:
Верно ли утверждение: "Если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны"?
Запишите ответ:
Задание 4
Вопрос:
Треугольник АВС является равнобедренным. Отрезок BD - медиана, проведённая к основанию треугольника. Равны ли треугольники АВD и СВD?
Запишите ответ:
Задание 5
Вопрос:
На рисунке АВ = ВС, AD = СD. Найдите градусную меру угла ВAD, если угол ВСD равен 60°.
Изображение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 60°
2) 120°
3) 30°
4) 90°
Задание 6
Вопрос:
Если каждую сторону треугольника увеличить на 1, то как изменится периметр этого треугольника?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) Увеличится в три раза
2) Не изменится
3) Уменьшится на 3
4) Увеличится на 3
Задание 7
Вопрос:
На рисунке изображены треугольники. Какие из них являются равнобедренными?
Изображение:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) а)
2) б)
3) в)
4) г)
Задание 8
Вопрос:
Отрезок BD – высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника АВС. Чему равна длина отрезка АD, если сторона АС равна 12 см?
Изображение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 18 см
2) 12 см
3) 6 см
4) 3 см
Задание 9
Вопрос:
На рисунке отрезок АВ равен отрезку ВС, а угол С равен 50°. Чему равна градусная мера угла 1?
Изображение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 150°
2) 130°
3) 80°
4) 50°
Задание 10
Вопрос:
Может ли биссектриса треугольника быть перпендикулярной стороне треугольника?
Пусть радиус самого большого полукруга R, тогда R = 126/2 = 63.
Пусть радиус среднего полукруга r₁, а радиус самого малого полукруга
r₂. Тогда r₂= 25.
r₁ = (126 - 2·25)/2 = (126 - 50)/2 = 76/2 = 38.
Пусть площадь большого полукруга S, среднего полукруга - S₁, малого полукруга S₂.
Тогда (по формуле площади круга, с учётом того, что у нас полукруги):
S = π·R²/2,
S₁ = π·r₁²/2,
S₂ = π·r₂²/2.
Тогда площадь заштрихованной области будет
= S - S₁ - S₂ = (π·R²/2) - (π·r₁²/2) - (π·r₂²/2) =
= π·( R² - r₁² - r₂²)/2 = π·( 63² - 38² - 25² )/2 = π·( 3969 - 1444 - 625)/2 =
= π·1900/2 = 950π.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
A1H - перпендикуляр к плоскости (AB1D1), ∠A1AH - искомый угол.
1)
В треугольнике AB1D1 проведем высоту AK, AK⊥B1D1
AA1⊥(A1B1D1) => AA1⊥B1D1
Следовательно B1D1⊥(AA1K) и (AB1D1)⊥(AA1K)
Перпендикуляр A1H лежит в плоскости (AA1K)
(то есть в плоскости, проходящей через высоту AK)
Рассуждение верно для всех сторон △АB1D1, следовательно H - точка пересечения высот.
Рассмотрим △AB1D1, H - ортоцентр, найдем AH.
AD1 =√5, AB1 =√2 (т Пифагора)
Треугольник равнобедренный, высота к основанию является медианой.
AM =AB1/2 =√2/2
D1M =√(AD1^2 -AM^2) =√(5 -1/2) =3/√2
△AHM~△D1AM => AH/AM =AD1/D1M => AH =√2/2 *√5 *√2/3 =√5/3
cos(A1AH) =AH/AA1 =√5/3, ∠A1AH =arccos(√5/3)
2)
Найдем объем тетраэдра A1AB1D1
V= 1/3 *A1D1 *S(AA1B1) =1/3 *2 *1/2 =1/3
S(AB1D1) =1/2 *√2 *3/√2 =3/2
V= 1/3 *A1H *S(AB1D1) =1/3 *A1H *3/2
Приравниваем объемы, A1H =2/3
sin(A1AH) =A1H/AA1 =2/3, ∠A1AH =arcsin(2/3)