Задание:
|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=1,φ=45° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=2√3,|b ⃗ |=5,φ=30° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,φ=120° a ⃗∙b ⃗=?
|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2√2,φ=150° a ⃗∙b ⃗=?
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 1. Найдите скалярное произведение векторов (DA) ⃗ и (В_1 D_1 ) ⃗
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 2. Найдите скалярное произведение векторов (A_1 C_1 ) ⃗ и (A_1 B) ⃗
Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром равным 4. Найдите скалярное произведение векторов (AA_1 ) ⃗ и (C_1 С) ⃗
Конечно, высота пирамиды легко вычисляется "стандартным Проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень(2)*корень(2)/2 = 1. Вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. Откуда получается ответ - объем равен (корень(2))^2*1/3 = 2/3.
Но...
Поскольку это половина окртаэдра, эту задачу можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно :)) - расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом - пусть её вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). Не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень(2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0) на оси X и точка (0,1,0) на оси Y - обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также - все остальные).
Вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2).
На самом деле, есть очень интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. В сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень(2), если ребро куба 1). Объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3 = 1/6 объема куба. А заданная в задаче пирамида составлена из 4 таких фигур. А октаэдр - из 8 :)).
Заклинания для таких задач :)))
Заклинание первое. Если у треугольников общая высота к основаниям, то отношение площадей равно отношению оснований (то есть сторон, к которым эта общая высота проведена).
Пусть h1 - расстояние от вершины В до АС в каком-то треугольнике АВС, и в другом треугольнике А'C'B сторона А'C', A' и C' - лежат на АС, вершина В общая. Тогда h1 и есть общая высота, Sabc = AC*h1/2; Sba'c' = A'C'*h1/2; ну, и осталось поделить одно на другое. Важно, чтобы стороны АС и А'С' лежали на одной прямой, и треугольники АВС и А'ВС' имели общую вершину В.
Заклинание второе. Если у треугольников общий угол, а стороны этого угла в треугольниках относятся, как p1/q1 и p2/q2, то площади относятся как (p1/q1)*(p2/q2); Никакого подобия тут нет! Это довольно просто увидеть из формулы для площади S = a*b*sinC/2;
Вот теперь оружие готово, и можно стрелять.
Для начала найдем AL/AK.
Пусть ВК = x; КС = 2*х; ВС = 3*х;
Тогда АС/ВС = 1/4; АС = х*3/4;
AL/LK = AC/KC = 3/8;
AL = AK*3/(3 + 8) = AK*3/11;
AM = AB/5;
Поэтому (второе заклинание :)) Saml = Sabk*(1/5)*(3/11) = Sabk*3/55;
Sklmb = Sabk - Saml = Sabk*52/55;
Осталось произнести первое заклинание (для треугольников АВС и АВК, ясно, что площадь АВК равна трети от площади АВС).
Sabc = Sabk*3; :)))
Sabc = (55/52)*Sklmb*3 = 55*3 = 165;