1) Четырехугольник ADEC - трапеция (DE ║ AC). ∠BAC = ∠BCA ⇒ трапеция равнобедренная, значит, AD = CE = BA - BD = 6. В трапеции ∠ВАС = ∠BCA ⇒ и ∠ADE = ∠CED. ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED). 2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE. ∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам. 3) Т.к. ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC EF/10 = 6/13 ⇒ EF = 60/13 4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону. Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр 13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8) 13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60 h =120/13 5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований. Sade/Sdcf = DE/DF DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма, DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13 Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13
Такие вот обозначения. CD = z; AD = y; кроме того, из того, что CM - биссектриса, следует, что AC/BC = AM/BM = 5/9; поэтому можно считать AC = 5x; BC = 9x; где x - неизвестная величина. Из подобия треугольников DCA и DCB (у этих треугольников угол CDA общий, а углы DCA и DBC равны, потому что "измеряются" половиной дуги CA) следует, во-первых, известное соотношение длины касательной. CD/AD = DB/CD; => CD^2 = AD*BD; z^2 = y*(y + 28); во-вторых, AC/AD = BC/CD; то есть 5x/y = 9x/z; откуда z = 9y/5; Получается y*(9/5)^2 = y + 28; y = 25/2; z = CD = 45/2;
Примечание, можно не читать. Занятный ответ, причем x "волшебным образом" испарился из уравнений. Похоже, что величины CD = 45/2; и AD = 25/2; постоянны в условии задачи, независимо от длинны сторон AC и BC. То есть вершина C может находится в любой точке окружности Аполония для отрезка AB = 28 и заданной пропорции AC/BC = 5/9; и ответ будет неизменным. Следовательно, есть простой частный случай, с которого можно легко проверить ответ - если выбрать AC перпендикулярным AB.
В трапеции ∠ВАС = ∠BCA ⇒ и ∠ADE = ∠CED.
ΔADE = ΔCED по двум сторонам и углу между ними (AD = CE, DE - общая, ∠ADE = ∠CED).
2) AD║CF, AC║DF ⇒ ADFC - параллелограмм, значит, ∠DAC = ∠CFE.
∠ACE = ∠FEC как накрест лежащие углы при пересечении AC║DE секущей СЕ. Значит, ΔECF подобен ΔАВС по двум углам.
3) Т.к. ΔECF подобен ΔАВС, то EF/AC = CE/BC
EF/10 = 6/13 ⇒ EF = 60/13
4) Пусть h - высота треугольника АВС, опущенная на боковую сторону.
Тогда Sabc = 13h/2 = √(p(p - a)(p - b)(p - c), где a, b, c - стороны треугольника АВС, р - его полупериметр
13h/2 = √(18 · 5 · 5 · 8)
13h/2 = √(9 · 2 · 5 · 5 · 4 · 2) = 3 · 5 · 4 = 60
h =120/13
5) AC║DF, значит, расстояние от точки А до DE и от точки С до DF одинаковы, т.е. ΔADE и ΔDCF имеют одинаковые высоты, опущенные к основаниям DE и DF соответственно. Значит, площади этих треугольников относятся как длины этих оснований.
Sade/Sdcf = DE/DF
DF = AC = 10 как противолежащие стороны параллелограмма,
DE = DF - EF = 10 - 60/13 = 70/13
Sade/Sdcf = (70/13) / 10 = 7/13
Из подобия треугольников DCA и DCB (у этих треугольников угол CDA общий, а углы DCA и DBC равны, потому что "измеряются" половиной дуги CA) следует, во-первых, известное соотношение длины касательной.
CD/AD = DB/CD; => CD^2 = AD*BD;
z^2 = y*(y + 28);
во-вторых, AC/AD = BC/CD; то есть
5x/y = 9x/z; откуда z = 9y/5;
Получается y*(9/5)^2 = y + 28; y = 25/2; z = CD = 45/2;
Примечание, можно не читать.
Занятный ответ, причем x "волшебным образом" испарился из уравнений. Похоже, что величины CD = 45/2; и AD = 25/2; постоянны в условии задачи, независимо от длинны сторон AC и BC. То есть вершина C может находится в любой точке окружности Аполония для отрезка AB = 28 и заданной пропорции AC/BC = 5/9; и ответ будет неизменным. Следовательно, есть простой частный случай, с которого можно легко проверить ответ - если выбрать AC перпендикулярным AB.