Задано вершини трикутної піраміди SKMN S(7; 5; 3), K(9; 4; 4), M(4; 5; 7), N(7; 9; 6). Знайти: а) рівняння площини основи піраміди KMN;
б) параметричне рівняння висоти піраміди SO (т. О є проекцією т. S на площину KMN);
в) об'єм піраміди SKMN, площу трикутника ∆KMN та висоту піраміди SO.

1) Биссектриса СК делит угол ВСД на 2 равных угла <ВСК = <ДСК. 2) <ВСК=<СМД как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей СК. Получается треугольник СДМ равнобедренный СД=МД=12 (т.к. углы при основании равны). Тогда АМ=АД-МД=30-12=18. 3) <АМК=<СМД как вертикальные углы. 4) <ВКС=<ДМК как как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и СД и секущей СК. Получается треугольник АКМ тоже равнобедренный АК=АМ=18, т.к. <АКМ=<АМК. 5) Треугольники АМК и ДМС подобны по 1 признаку по двум равным углам (расписано выше), значит стороны пропорциональны: АМ/МД=КМ/МС или 18/12=КМ/14, значит КМ=18*14/12=21. 6) Периметр треугольника АМК Р=АК+АМ+МК=18+18+21=57.

Проведем биссектрису DE и отрезок EF, параллельно основанию AD. Тогда EF - средняя линия трапеции ABCD. Треугольник DEF равнобедренный, так как <EDA=<DEF (как внутренние накрест лежащие при параллельных EF и AD и секущей DE), а <FDE=<EDA (так как DE - биссектриса). Тогда EF=FD=39/2=19,5
Это средняя линия трапеции. Значит основание AD = 39 -12 = 27 (так как (AD+BC)/2=39, а ВС=12). Проведем высоты ВН и СК. Естественно, что ВН=ВК. Из треугольников АВН и КСD по Пифагору выразим ВН² и СК²:
(1)ВК² = 36²-АН².  (2)СК² = 39²-КD². Но KD=AD - AH - HK= 27-AH - 12 = 15-AН (так как НК=ВС). Значит СК² = 39²-(15-АН)². Приравняем оба выражения (1) и (2):
36²-АН² = 39² - 15² +30*АН -АН². 30*АН = 36²-39²+15²= 0 !!
Следовательно, трапеция-то прямоугольная! (но это и не важно).
Высота ее из (1) равна h = 36.
Тогда площадь трапеции S = [(AD+BC)/2]*BH = 19,5*36 = 702.