Заданы точки A(4; 7; 8), B(-1; 13; 0), C(2; 4; 9), D(1; 8; 9) Задачи: 1) Найти угол между прямыми AB и CD 2)Найти угол между прямым CD и плоскостью ABC 3)Найти расстояние от точки D до плоскости ABC
Добрый день! Рассмотрим поставленные задачи по порядку.
1) Найти угол между прямыми AB и CD.
Для начала найдем направляющие векторы для данных прямых. Направляющий вектор для прямой AB равен вектору AB = B - A, то есть AB = (-1-4, 13-7, 0-8) = (-5, 6, -8). Аналогично, для прямой CD найдем вектор CD = D - C = (1-2, 8-4, 9-9) = (-1, 4, 0).
Используем формулу cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|) для нахождения косинуса угла между прямыми, где AB * CD - скалярное произведение векторов AB и CD, а |AB| и |CD| - длины этих векторов.
Учитывая, что косинус является положительным, угол θ будет лежать в первой четверти или четвертой четверти. Так как значения координат положительны в обоих направляющих векторах, то угол θ будет лежать в первой четверти.
Теперь найдем сам угол. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением cos(θ) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - сторона прямоугольного треугольника, лежащая рядом с углом θ, а hypotenuse - гипотенуза этого треугольника.
Поскольку adjacent является положительным, выбираем значение косинуса, соответствующее первой четверти:
cos(θ) = 29 / (5 * √(85)).
θ = arccos(29 / (5 * √(85))).
2) Найти угол между прямыми CD и плоскостью ABC.
Угол между прямой CD и плоскостью ABC определяется углом между вектором CD и нормалью плоскости ABC. Для начала найдем нормаль к плоскости ABC.
Нормаль к плоскости ABC можно получить как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Возьмем вектор AB и вектор AC. Вектор AB = B - A = (-1-4, 13-7, 0-8) = (-5, 6, -8), а вектор AC = C - A = (2-4, 4-7, 9-8) = (-2, -3, 1).
Теперь найдем векторное произведение этих векторов:
N = AB x AC = (-5, 6, -8) x (-2, -3, 1).
N = ((6 * 1) - (-3 * -8), (-8 * -2) - (-5 * 1), (-5 * -3) - (6 * -2)).
N = (6 + 24, 16 + 5, 15 - 12).
N = (30, 21, 3).
Теперь найдем скалярное произведение вектора CD и нормали к плоскости ABC. Используем формулу cos(θ) = (CD * N) / (|CD| * |N|), где CD * N - скалярное произведение векторов CD и N, а |CD| и |N| - длины этих векторов.
Учитывая, что косинус является положительным, угол θ будет лежать в первой четверти.
Теперь найдем сам угол. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением cos(θ) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - сторона прямоугольного треугольника, лежащая рядом с углом θ, а hypotenuse - гипотенуза этого треугольника.
Поскольку adjacent является положительным, выбираем значение косинуса, соответствующее первой четверти:
cos(θ) = 54 / (3 * √(2550)).
θ = arccos(54 / (3 * √(2550))).
3) Найти расстояние от точки D до плоскости ABC.
Расстояние от точки D до плоскости ABC можно найти по формуле d = |(D - A) * N| / |N|, где D - координаты точки D, A - координаты произвольной точки плоскости ABC, N - нормаль плоскости ABC.
Теперь можем найти расстояние d:
d = 66 / (3√150) = 2 * 22 / (3√150) = 44 / (3√150).
Ответ:
1) Угол между прямыми AB и CD равен arccos(29 / (5 * √(85))).
2) Угол между прямой CD и плоскостью ABC равен arccos(54 / (3 * √(2550))).
3) Расстояние от точки D до плоскости ABC равно 44 / (3√150).
1) Найти угол между прямыми AB и CD.
Для начала найдем направляющие векторы для данных прямых. Направляющий вектор для прямой AB равен вектору AB = B - A, то есть AB = (-1-4, 13-7, 0-8) = (-5, 6, -8). Аналогично, для прямой CD найдем вектор CD = D - C = (1-2, 8-4, 9-9) = (-1, 4, 0).
Используем формулу cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|) для нахождения косинуса угла между прямыми, где AB * CD - скалярное произведение векторов AB и CD, а |AB| и |CD| - длины этих векторов.
AB * CD = (-5 * -1) + (6 * 4) + (-8 * 0) = 5 + 24 + 0 = 29.
|AB| = √((-5)^2 + 6^2 + (-8)^2) = √(25 + 36 + 64) = √125 = 5√5.
|CD| = √((-1)^2 + 4^2 + 0^2) = √(1 + 16 + 0) = √17.
Теперь можем найти косинус угла θ:
cos(θ) = 29 / (5√5 * √17) = 29 / (5 * √(5 * 17)) = 29 / (5 * √(85)).
Учитывая, что косинус является положительным, угол θ будет лежать в первой четверти или четвертой четверти. Так как значения координат положительны в обоих направляющих векторах, то угол θ будет лежать в первой четверти.
Теперь найдем сам угол. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением cos(θ) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - сторона прямоугольного треугольника, лежащая рядом с углом θ, а hypotenuse - гипотенуза этого треугольника.
Поскольку adjacent является положительным, выбираем значение косинуса, соответствующее первой четверти:
cos(θ) = 29 / (5 * √(85)).
θ = arccos(29 / (5 * √(85))).
2) Найти угол между прямыми CD и плоскостью ABC.
Угол между прямой CD и плоскостью ABC определяется углом между вектором CD и нормалью плоскости ABC. Для начала найдем нормаль к плоскости ABC.
Нормаль к плоскости ABC можно получить как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Возьмем вектор AB и вектор AC. Вектор AB = B - A = (-1-4, 13-7, 0-8) = (-5, 6, -8), а вектор AC = C - A = (2-4, 4-7, 9-8) = (-2, -3, 1).
Теперь найдем векторное произведение этих векторов:
N = AB x AC = (-5, 6, -8) x (-2, -3, 1).
N = ((6 * 1) - (-3 * -8), (-8 * -2) - (-5 * 1), (-5 * -3) - (6 * -2)).
N = (6 + 24, 16 + 5, 15 - 12).
N = (30, 21, 3).
Теперь найдем скалярное произведение вектора CD и нормали к плоскости ABC. Используем формулу cos(θ) = (CD * N) / (|CD| * |N|), где CD * N - скалярное произведение векторов CD и N, а |CD| и |N| - длины этих векторов.
CD * N = (-1 * 30) + (4 * 21) + (0 * 3) = -30 + 84 + 0 = 54.
|CD| = √((-1)^2 + 4^2 + 0^2) = √(1 + 16 + 0) = √17.
|N| = √(30^2 + 21^2 + 3^2) = √(900 + 441 + 9) = √1350 = √(9 * 150) = 3√150.
Теперь можем найти косинус угла θ:
cos(θ) = 54 / ( √17 * 3√150 ) = 54 / (3 * √(17 * 150)) = 54 / (3 * √(2550)).
Учитывая, что косинус является положительным, угол θ будет лежать в первой четверти.
Теперь найдем сам угол. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением cos(θ) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - сторона прямоугольного треугольника, лежащая рядом с углом θ, а hypotenuse - гипотенуза этого треугольника.
Поскольку adjacent является положительным, выбираем значение косинуса, соответствующее первой четверти:
cos(θ) = 54 / (3 * √(2550)).
θ = arccos(54 / (3 * √(2550))).
3) Найти расстояние от точки D до плоскости ABC.
Расстояние от точки D до плоскости ABC можно найти по формуле d = |(D - A) * N| / |N|, где D - координаты точки D, A - координаты произвольной точки плоскости ABC, N - нормаль плоскости ABC.
Заменим координаты в формуле:
d = |(1-4, 8-7, 9-8) * (30, 21, 3)| / |(30, 21, 3)|
= |(-3, 1, 1) * (30, 21, 3)| / |(30, 21, 3)|
= |(-3 * 30) + (1 * 21) + (1 * 3)| / |(30, 21, 3)|.
Расчеты:
|(-3 * 30) + (1 * 21) + (1 * 3)| = |-90 + 21 + 3| = |-66| = 66.
|(30, 21, 3)| = √(30^2 + 21^2 + 3^2) = √(900 + 441 + 9) = √1350 = √(9 * 150) = 3√150.
Теперь можем найти расстояние d:
d = 66 / (3√150) = 2 * 22 / (3√150) = 44 / (3√150).
Ответ:
1) Угол между прямыми AB и CD равен arccos(29 / (5 * √(85))).
2) Угол между прямой CD и плоскостью ABC равен arccos(54 / (3 * √(2550))).
3) Расстояние от точки D до плоскости ABC равно 44 / (3√150).