Закончи предложения. Дай полные ответы. 1. Перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а – это отрезок … .
2. Основание перпендикуляра – это точка … .
3. Наклонные, проведённые из точки А к прямой а – это отрезки … .
4. Основание наклонной АМ – это точка … .
5. Расстоянием от точки А до прямой а называется … .
6. Наклонная АК … перпендикуляра АН.
7. Проекция наклонной АМ – это отрезок … .
!

В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 30°,  AB=BC=6, проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC.  Найдите BE.

——————————

ответ: 4,5 (ед. длины)

Объяснение:  

Из ∆ ВDC катет DC противолежит углу 30° ⇒ DC=ВС:2= 6:2=3 (свойство).

  Высота прямоугольного треугольник, проведенная к гипотенузе,  делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику. Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

Угол BСD=90°-∠DBC=90°-30°=60°, угол ЕDC=30°.

CD - гипотенуза прямоугольного ∆ СЕD, катет ЕС противолежит углу 30°,⇒ ЕС=СD:2=3:2=1,5  ⇒

ВЕ=6-1.5=4,5

Или:

 Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на неё.

СD²=BC•EC. Из найденного СD=3.

3²=6•CE ⇒ CE=1,5 a BE=BC-CE=6-1,5=4,5  

Из ΔАВС (∠А = 90°): ВС = √(АВ² + АС²) = √(9 + 4) = √13 см

Из ΔАDВ (∠А = 90°): ВD = √(АВ² + АD²) = √(1 + 4) = √5 см

Из ΔАDC (∠А = 90°): CD = √(АC² + АD²) = √(9 + 1) = √10 см

Площадь ΔDВС найдём по формуле Герона

S = √(p(p - DВ)(p - DС)(p - BC)), p = (DВ + DС + BC) : 2 = (√5 + √10 + √13) : 2 см

S = √((√5 + √10 + √13) : 2((√5 + √10 + √13) : 2 - √5)((√5 + √10 + √13) : 2 - √10)((√5 + √10 + √13) : 2 - √13)) = √((√5 + √10 + √13) : 2((√10 + √13 - √5) : 2)((√5 + √13 - √10 ) : 2)(( √5 + √10 - √13) : 2)) =0,25√((√5 + √10 + √13)(√10 + √13 - √5)(√5 + √13 - √10)( √5 + √10 - √13))=0,25√((√13 + √10)² - 5)(√5 + √13 - √10)( √5 - (√13 - √10))=0,25√((√13 + √10)² - 5)( 5 - (√13 - √10)²)=0,25√((13 + 10 + 2√130 - 5)( 5 - 13-10 + 2√130))=0,25√((18 + 2√130)(2√130-18))=0,25√(4·130 - 324)= 0,25√(520 - 324)= 0,25√196 = 0,25·14 = 3,5 см².

Можно ещё через высоты треугольников площадь вычислить, а также с использованием формулы площади ортогональной проекции. Я выбрал формулу Герона, чтобы показать как можно преобразовывать иррациональные выражения.