Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение. Задача. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) биссектриса BL пересекается с биссектрисой угла A в точке I. Точка X на стороне AB выбрана так, что BX=BC. Прямая XI пересекает основание BC в точке Y. Докажите, что LC=BY.

Решение. Заметим, что точки X и

C

L

Y
симметричны относительно прямой

AI

BI

CI
, поэтому длина отрезка BY равна длине отрезка

BK

IK

XK
, где K — точка пересечения биссектрисы CI со стороной AB. Осталось заметить, что отрезок

BK

CK

XK
равен отрезку CL, поскольку они симметричны относительно прямой

AI

BI

CI
.

Решение:

1. Начнем с того, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Также, биссектриса лежит на сторонах треугольника.

2. Пусть BL - биссектриса угла A, в точке I она пересекается с биссектрисой угла A.

3. Далее, мы выбираем точку X на стороне AB таким образом, что BX = BC. То есть, длина стороны BX равна длине стороны BC.

4. Прямая XI пересекает основание BC в точке Y.

5. Важное наблюдение: точки X и C, а также L и Y, симметричны относительно прямой AI (биссектрисе угла A).

6. Теперь нам нужно доказать, что LC = BY.

7. Мы замечаем, что длина отрезка BY равна длине отрезка BK + KI + IX, где K - точка пересечения биссектрисы CI со стороной AB.

8. Ключевое наблюдение состоит в том, что отрезок BK и CK, а также XK и CL, являются симметричными относительно прямой AI.

9. Исходя из этого наблюдения, отрезок BK равен отрезку CK, и отрезок XK равен отрезку CL.

10. Таким образом, отрезок BY равен отрезку BK + KI + IX, что также равно отрезку CL.

11. Следовательно, LC = BY, что и требовалось доказать.

Данное решение позволяет понять, что мы использовали свойство симметрии и равенство сторон для доказательства равенства отрезков LC и BY.