Т.к. центры окружностей симметричны --> они лежат на перпендикуляре к АС и на равных расстояниях от АС (О1К = О2К))) центр вписанной окружности О1 -- это точка пересечения биссектрис, центр описанной окружности О2 -- это точка пересечения серединных перпендикуляров... следовательно, одна и та же прямая (на которой лежат оба центра окружностей) является и серединным перпендикуляром и биссектрисой, т.е. данный треугольник АВС --- равнобедренный))) и два угла при основании равнобедренного треугольника равны... обозначим их (а) = ВАС = ВСА и осталось рассмотреть треугольник ВО2С --- он тоже равнобедренный, т.к. ВО2 = СО2 и его вершина О2 лежит на серединном перпендикуляре))), значит и углы при основании равны... т.е. угол СВО2 = 90-а = ВСО2 = 3*а/2 отсюда: 90 = 5*а/2 ---> а = 36 Углы треугольника АВС: 36, 36, 108 градусов
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. Плоскость acc1 - это плоскость грани aa1c1c. Чтобы найти угол между прямой ab1 и плоскостью aa1c1c, надо из точки b1 опустить перпендикуляр b1h1 на эту плоскость (заметим, что этот перпендикуляр - высота равностороннего треугольника - основания призмы). Угол b1ah1 и будет искомым углом, который равен 45 градусам (дано). Тогда в прямоугольном треугольнике ah1b1 катеты равны (<b1ah1=45°),то есть ah1=h1b1. Но h1b1 - высота равностороннего треугольника (основания призмы) со стороной а. По формуле эта высота равна (√3/2)*а. Тогда из прямоугольного треугольника аh1h по Пифагору найдем hh1 (заметим, что это высота призмы): hh1=√(ah1²-ah²) = √(3a²/4-a²/4) = a*√2/2 ( ah=0,5ac - половине стороны основания). рассмотрим прямоугольный треугольник ob1b2. ob1 - радиус шара, оb2 = (2/3)*h1b1 (так как высота в равностороннем треугольнике делится центром описанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины), а b1b2 - половина высоты призмы. Подставим имеющиеся значения в формулу Пифагора: ob1²=ob2²+b1b2² и получим: 11= [(2/3)*(√3/2)*а]² + (a*√2/4)² или 11=(11/24)*а², откуда а=2*√6. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна а²√ 3/4, высота равна a*√2/2. Итак, V = (а²√ 3/4)*(a*√2/2) = a³√6/8. Подставляем значение а=2√6 и получаем: V=[(2√6)*(2√6)*(2√6)]*(√6/8) = 36. ответ: Объем призмы равен 36.
центр вписанной окружности О1 -- это точка пересечения биссектрис,
центр описанной окружности О2 -- это точка пересечения серединных перпендикуляров...
следовательно, одна и та же прямая (на которой лежат оба центра окружностей) является и серединным перпендикуляром и биссектрисой, т.е. данный треугольник АВС --- равнобедренный)))
и два угла при основании равнобедренного треугольника равны...
обозначим их (а) = ВАС = ВСА
и осталось рассмотреть треугольник ВО2С --- он тоже равнобедренный, т.к. ВО2 = СО2 и его вершина О2 лежит на серединном перпендикуляре))), значит и углы при основании равны...
т.е. угол СВО2 = 90-а = ВСО2 = 3*а/2
отсюда: 90 = 5*а/2 ---> а = 36
Углы треугольника АВС: 36, 36, 108 градусов
Плоскость acc1 - это плоскость грани aa1c1c. Чтобы найти угол между прямой ab1 и плоскостью aa1c1c, надо из точки b1 опустить перпендикуляр b1h1 на эту плоскость (заметим, что этот перпендикуляр - высота равностороннего треугольника - основания призмы). Угол b1ah1 и будет искомым углом, который равен 45 градусам (дано).
Тогда в прямоугольном треугольнике ah1b1 катеты равны (<b1ah1=45°),то есть ah1=h1b1. Но h1b1 - высота равностороннего треугольника (основания призмы) со стороной а. По формуле эта высота равна (√3/2)*а. Тогда из прямоугольного треугольника аh1h по Пифагору найдем hh1 (заметим, что это высота призмы): hh1=√(ah1²-ah²) = √(3a²/4-a²/4) = a*√2/2 ( ah=0,5ac - половине стороны основания). рассмотрим прямоугольный треугольник ob1b2. ob1 - радиус шара, оb2 = (2/3)*h1b1 (так как высота в равностороннем треугольнике делится центром описанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины), а b1b2 - половина высоты призмы. Подставим имеющиеся значения в формулу Пифагора: ob1²=ob2²+b1b2² и получим: 11= [(2/3)*(√3/2)*а]² + (a*√2/4)² или 11=(11/24)*а², откуда а=2*√6.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) равна а²√ 3/4, высота равна a*√2/2. Итак, V = (а²√ 3/4)*(a*√2/2) = a³√6/8. Подставляем значение а=2√6 и получаем: V=[(2√6)*(2√6)*(2√6)]*(√6/8) = 36.
ответ: Объем призмы равен 36.