Радиус окружности, в которую вписано основание тетраэдра находим из прямоугольного треугольника, где гипотенуза - искомый радиус, а катет - половина ребра. Угол между ними 30°. r = (1/2) / cos 30° = (1*2) / (2*√3) = 1 / √3. Высоту тетраэдра находим по Пифагору: H = √(1² - (1/√3)²) = √(2/3). Теперь рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через ребро тетраэдра. Высота в прямоугольном треугольнике (она же радиус r), проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных. Из подобия запишем пропорцию: H/1 = 1/D. Отсюда D = 1/H = 1 / (√(2/3)) = √(3/2). Объём шара равен V = (1/6)π*D³ = (1/6)π*(3/2)*(√(3/2) = 0,96191.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:ΔАВС - прямоугольный.
∠В = 90°.
ВО - биссектриса ∠В в прямоугольном ΔАВС.
ВН - высота.
∠А = 27°.
Найти:∠ОВН = ?
Решение:Рассмотрим ΔВАН - прямоугольный (так как ВН⊥АС).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
То есть -
∠ВАО+∠АВН = 90°
∠АВН = 90°-∠ВАО
∠АВН = 90°-27°
∠АВН = 63°.
Рассмотрим ∠В. Так как отрезок ВО - биссектриса, то ∠АВО = ∠ОВС = 90°/2 = 45° (по определению биссектрисы).
Рассмотрим ∠АВН.
∠АВН = ∠АВО+∠ОВН
∠ОВН = ∠АВН-∠АВО
∠ОВН = 63°-45°
∠ОВН = 18°.
ответ: 18°.r = (1/2) / cos 30° = (1*2) / (2*√3) = 1 / √3.
Высоту тетраэдра находим по Пифагору:
H = √(1² - (1/√3)²) = √(2/3).
Теперь рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через ребро тетраэдра.
Высота в прямоугольном треугольнике (она же радиус r), проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных.
Из подобия запишем пропорцию:
H/1 = 1/D. Отсюда D = 1/H = 1 / (√(2/3)) = √(3/2).
Объём шара равен V = (1/6)π*D³ = (1/6)π*(3/2)*(√(3/2) = 0,96191.