Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
ВР/РЕ = 15/2.
Объяснение:
По теореме Менелая в треугольнике СВЕ:
(СМ/МВ)*(ВР/РЕ)*(ЕА/АС) = 1. =>
Подставим известные значения:
(1/3)*(ВР/РЕ)*(2/5) = 1. =>
ВР/РЕ = 15/2. Это ответ.
А если теоремы не знаете, докажем ее.
Проведем ЕН параллельно ВС.
ΔСМА∼ΔЕНА по двум углам (угол CАМ — общий, а ∠НЕА=∠ВСА как соответственные при параллельных прямых СВ и ЕН и секущей СЕ). Следовательно:
СM/ЕН=АM/АН=АС/АЕ =>
ЕН=СM⋅АЕ/AС. (1)
ΔBMP∼ΔHPE по двум углам (∠BPM=∠HPE как вертикальные, а ∠PEH=∠PBM как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и HE и секущей BE).
Следовательно:
BM/EH=MP/HP=BP/PE =>
EH=BM⋅PE/BP. (2)
Приравняем (1) и (2) и разделим обе части на левую:
СM⋅АЕ/AС = BM⋅PE/BP => (СM⋅АЕ⋅BP)/(AC⋅BM⋅PE) = 1 или
(СM/МВ)⋅(ВР⋅PЕ)/(ЕA⋅АС) = 1.
Что и требовалось доказать.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.