Примем а = 1. Поместим куб в систему координат вершиной В в начало и ребром ВА по оси ОХ. а) Определяем координаты точек: А(4;0;0), Р(2;4;0), А1(4;0;4), С(0;4;0). Находим координаты середин отрезков A1С и АР (точки Е и К соответственно): Е(2;2;2), К(3;2;0). Расстояние между серединами отрезков A1С и АР равно: ЕК = √(1²+0²+2²) = √5. С учетом коэффициента "а" ЕК = а√5.
4) Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними составляет 90 градусов. По условию вектор b направлен по оси ОZ (его координаты {0; 0; -5}). Поэтому любая точка в плоскости ХОУ составляет прямой угол с вектором b. ответ: М ∈ ХОУ.
Поместим куб в систему координат вершиной В в начало и ребром ВА по оси ОХ.
а) Определяем координаты точек:
А(4;0;0),
Р(2;4;0),
А1(4;0;4),
С(0;4;0).
Находим координаты середин отрезков A1С и АР (точки Е и К соответственно): Е(2;2;2), К(3;2;0).
Расстояние между серединами отрезков A1С и АР равно:
ЕК = √(1²+0²+2²) = √5.
С учетом коэффициента "а" ЕК = а√5.
4) Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними составляет 90 градусов.
По условию вектор b направлен по оси ОZ (его координаты {0; 0; -5}).
Поэтому любая точка в плоскости ХОУ составляет прямой угол с вектором b.
ответ: М ∈ ХОУ.
Пусть радиус красной окружности R = x, тогда КМ = KC + CM = 21 + 42 = 63, KU = FU + KF = x + 21, MU = UE + ME = x + 42, UO = DO - DU = 63 - x
Применим теорему косинусов для ΔКМU:
KU² = KM² + UM² - 2•KM•UM•cos∠KMU
(x + 21)² = 63² + (x + 42)² - 2•63•(x + 42)•cos∠KMU
x² + 42x + 441 = 3969 + x² + 84x + 1764 - 126•(x + 42)•cos∠KMU
126•(x + 42)•cos∠KMU = 42x + 5292 ⇒ cos∠KMU = (x+126)/3(x+42)
Теперь ещё раз применим теорему косинусов уже для ΔUOM:
UO² = OM² + UM² - 2•OM•UM•cos∠OMU
(63 - x)² = 21² + (x + 42)² - 2•21•(x + 42)•cos∠OMU
x² - 126x + 3969 = 441 + x² + 84x + 1764 - 42•(x + 42)•cos∠OMU
42•(x + 42) = 210x - 1764 ⇒ cos∠OMU = (5x - 42)/(x + 42)
cos∠KMU = cos∠OMU ⇒ (x + 126)/3(x + 42) = (5x - 42)/(x + 42)
x + 126 = 3•(5x - 42) ⇔ 14x = 252 ⇔ R = x = 18 ⇒ D = 36
ответ: 36