Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4. РЕШЕНИЕ Ясно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности. В равнобедренная трапеция АВСД основание ВС=4, r ω=4, ⇒ высота СН=2r=8, СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒ угол СОД=полусумме этих углов и равен 90° ОР - высота прямоугольного треугольника СОД и равна r=4 Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу: ОР²=СР*РД 16=2*РД РД=16:2=8 В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора) КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии. Δ СЕР ≈ Δ СНД по двум углам - прямому и общему острому. Тогда СР:СД=ЕР:НД 2:10=ЕР:6 10 ЕР=12 ЕР=12:10=1,2 Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2 КР=3,2*2=6,4
Пусть другая касательная CD (проведем ) ; C∈ (O₁ ; 8) , D∈(O₂ ; 2)
O₁ и O₂ центры окружностей .
BA =BC ; (свойство касателей проведенной из точки )
BA = BD ;
BC = BD ⇒ BA =BC =BD = 1/2* CD ;
O₂E || CD , E∈ [ O₁C ]; ясно CDO₂E -прямоугольник ⇒ CD = O₂E.
Из ΔOEO :
O₂E² = O₁O₂² - O₁E² = O₁O₂² - (CO₁ -EC)² = (R +-r)² - (R-r)² = 4Rr ;
CD = O₂E =2√R*√r ; [ 2sqrt(Rr) ] ,
BA = 1/2*CD = √ R*√r ;
BA = √8*√2= 4 .
. ⇒ BA =1/2* CD =4;
ответ : BA = √ R*√r .
РЕШЕНИЕ
Ясно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности.
В равнобедренная трапеция АВСД основание ВС=4, r ω=4, ⇒
высота СН=2r=8,
СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки.
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒
угол СОД=полусумме этих углов и равен 90°
ОР - высота прямоугольного треугольника СОД и равна r=4
Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу:
ОР²=СР*РД
16=2*РД
РД=16:2=8
В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора)
КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии.
Δ СЕР ≈ Δ СНД по двум углам - прямому и общему острому.
Тогда
СР:СД=ЕР:НД
2:10=ЕР:6
10 ЕР=12
ЕР=12:10=1,2
Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2
КР=3,2*2=6,4