Плоскость BMD - равнобедренный треугольник, плоскость a даёт в сечении четырёхугольник РКТА, состоящий из двух равнобедренных треугольников РКТ и РТА с общим основанием РТ. Проведём сечение CSA. Оно перпендикулярно заданным плоскостям и пересекает их по высотам треугольников. Из подобия треугольников в полученном сечении имеем: - высота треугольника РКТ равна половине высоты BMD, - основание треугольника РКТ равна половине основания BMD. Получаем: S(РКТ) = (1/4)S(BMD). Высота КЕ треугольника РКТ равна половине высоты МО треугольника BMD, а сумма высот КА треугольников РКТ и BMD в 2 раза больше МО, то есть равна 4 высоты КЕ. Отсюда вывод: высота ЕА равна 3 высоты КЕ и площадь треугольника РТА равна трём площадям РКТ. Подходим к ответу: S(РКТА) = 4S(РКТ) =S(BMD).
Вершина квадрата,лежащая на ребре SC, равно удалена от рёбер SA (также и SB) и ВС, поэтому она лежит на биссектрисе угла CBS. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам. 6 : 12 = 1 :2. Поэтому сторона SC разделится на 3 части: 1 часть ближе к стороне СВ -это (12/3)*1= 4. Это и есть длина стороны квадрата. Теперь переходим к диагонали этого квадрата. Один конец её находится на боковом ребре на расстоянии 1/3 его длины. Значит, и по высоте будет находиться на 1/3 высоты пирамиды. Вершина правильной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан треугольника основания - это 2/3 высоты основания, считая от вершины. Высота основания h = 6*cos 30 = 6*(√3/2) = 3√3. 2/3 части её равны 3√3*2 / 3 = 2√3. Отсюда высота пирамиды H = √(12²-(2√3)²) = √(144-12) = √132 = =2√33 = 11,4891. Третья часть составит 2√3 / 3 = 3,82971. Боковая сторона проекции квадрата на основание равна: (2/2) / cos 30 = 1 /(√3/2) = 2 / √3 = 1,1547. Проекция диагонали равна √(4²+ 1.1547²) = √16+ 1,33333) = = √17,3333 = 4,16333. Тангенс угла наклона диагонали квадрата полученного сечения к основанию равен 3,82971 / 4,16333 = 0.91987. Угол равен arc tg 0.91987 = 0.74368 радиан = 42.6099 градуса.
Проведём сечение CSA.
Оно перпендикулярно заданным плоскостям и пересекает их по высотам треугольников.
Из подобия треугольников в полученном сечении имеем:
- высота треугольника РКТ равна половине высоты BMD,
- основание треугольника РКТ равна половине основания BMD.
Получаем: S(РКТ) = (1/4)S(BMD).
Высота КЕ треугольника РКТ равна половине высоты МО треугольника BMD, а сумма высот КА треугольников РКТ и BMD в 2 раза больше МО, то есть равна 4 высоты КЕ.
Отсюда вывод: высота ЕА равна 3 высоты КЕ и площадь треугольника РТА равна трём площадям РКТ.
Подходим к ответу:
S(РКТА) = 4S(РКТ) =S(BMD).
Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам.
6 : 12 = 1 :2. Поэтому сторона SC разделится на 3 части: 1 часть ближе к стороне СВ -это (12/3)*1= 4.
Это и есть длина стороны квадрата.
Теперь переходим к диагонали этого квадрата.
Один конец её находится на боковом ребре на расстоянии 1/3 его длины. Значит, и по высоте будет находиться на 1/3 высоты пирамиды.
Вершина правильной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан треугольника основания - это 2/3 высоты основания, считая от вершины.
Высота основания h = 6*cos 30 = 6*(√3/2) = 3√3.
2/3 части её равны 3√3*2 / 3 = 2√3.
Отсюда высота пирамиды H = √(12²-(2√3)²) = √(144-12) = √132 =
=2√33 = 11,4891.
Третья часть составит 2√3 / 3 = 3,82971.
Боковая сторона проекции квадрата на основание равна:
(2/2) / cos 30 = 1 /(√3/2) = 2 / √3 = 1,1547.
Проекция диагонали равна √(4²+ 1.1547²) = √16+ 1,33333) =
= √17,3333 = 4,16333.
Тангенс угла наклона диагонали квадрата полученного сечения к основанию равен 3,82971 / 4,16333 = 0.91987.
Угол равен arc tg 0.91987 = 0.74368 радиан = 42.6099 градуса.