1)МР=КМ-КР=21-15=6. Средняя линия - это полусумма оснований, тогда сумма оснований - это средняя линия ×2. LМ+KN=28. Смотри рисунок. ΔLPM подобен ΔКРN по первому признаку (угол LРМ=углу КРN как вертикальные, углы MLN=LNK как внутренние накрест лежащие при параллельных LM и KL и секущей LN). Отсюда вытекает следующее: KN=28-LM Тогда KN=28-8=20. ответ: 8, 20.
3) Смотри второй рисунок. ОН - расстояние до ВС, являющееся перпендикуляром к ней. АВС - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный ВОС ⇒ ВОС=2×60=120. Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО=ОС=R). Угол ОВС=углу ОСВ=(180-120)/2=30 Рассмотрим прямоугольный ΔОНВ. Катет ОН противолежит углу в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы ОВ ( половине радиусу). ОН=8/2=4. ответ: 4.
4) Третий рисунок. Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол ОАС=90 градусов. Угол ОАС=угол ВАС+угол ВАО, откуда ВАО=90-35=55. Треугольник АОВ - равнобедренный (ВО=АО=R), а значит угол АВО=углу ВАО. Искомый угол АОВ=180-55-55=70. ответ: 70.
5) Сюда, оказывается, можно добавить только три рисунка, так что построй сама, он легкий. Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол АВО=90 градусов. Из прямоугольного тр-ка АВО найдем ВО (который является радиусом) по теореме Пифагора. ответ: 5.
6) В третьем вложении. Рассмотрим прямоугольный треугольник ДЕО. Длина окружности 2пиR=2×3,14×6=37,68. Из тр-ка ДЕО найдем гипотенузу ДО. ДО²=ЕД²+ЕО²=64+36=100, ДО=10. sinЕДО=6/10=0,6. Рассмотрим прямоугольный тр-ик ЕДН. sin ЕДН=ЕН/ЕД=0,6, откуда ЕН=0,6×8=4,8. ЕF=2×EH=2×4,8=9,6 Все в том же тр-ке найдем ДН по теореме Пиф. ДН²=ЕД²-ЕН²=64-23,04=40,96; ДН=6,4. Площадь - это половина произведения высоты на основание, т. е. ответ: 37,68; 30,72.
Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.
Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.
Тогда уг.ВNО = уг.КNО = al.
Аналогично для тр-ков ОAL и ОКL: уг.ALO = уг.КLО = be.
В тр-ке LON сумма углов уг.КLО + уг.КNO = al + be, уг.LON =180 - (al + be)
Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al, уг.KOL = 90-be, а уг.LON =180 -( уг. NOB + уг.LOA) = 180-(90-al)-(90-be) = al + be.
Итак получили: уг.LON =180 - (al + be) и уг.LON = al + be.
180 - (al + be) = al + be и 2(al + be) = 180. Откуда al + be =90гр.
И уг.LON = al + be = 90гр., т.е. тр-к LON - прямоугольный.
Средняя линия - это полусумма оснований, тогда сумма оснований - это средняя линия ×2. LМ+KN=28.
Смотри рисунок.
ΔLPM подобен ΔКРN по первому признаку (угол LРМ=углу КРN как вертикальные,
углы MLN=LNK как внутренние накрест лежащие при параллельных LM и KL и секущей LN).
Отсюда вытекает следующее:
KN=28-LM
Тогда KN=28-8=20.
ответ: 8, 20.
3) Смотри второй рисунок. ОН - расстояние до ВС, являющееся перпендикуляром к ней.
АВС - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный ВОС ⇒ ВОС=2×60=120.
Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО=ОС=R).
Угол ОВС=углу ОСВ=(180-120)/2=30
Рассмотрим прямоугольный ΔОНВ.
Катет ОН противолежит углу в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы ОВ ( половине радиусу).
ОН=8/2=4.
ответ: 4.
4) Третий рисунок.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол ОАС=90 градусов.
Угол ОАС=угол ВАС+угол ВАО, откуда ВАО=90-35=55.
Треугольник АОВ - равнобедренный (ВО=АО=R), а значит угол АВО=углу ВАО.
Искомый угол АОВ=180-55-55=70.
ответ: 70.
5) Сюда, оказывается, можно добавить только три рисунка, так что построй сама, он легкий.
Радиус к касательной перпендикулярен ей, и угол АВО=90 градусов.
Из прямоугольного тр-ка АВО найдем ВО (который является радиусом) по теореме Пифагора.
ответ: 5.
6) В третьем вложении.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ДЕО.
Длина окружности 2пиR=2×3,14×6=37,68.
Из тр-ка ДЕО найдем гипотенузу ДО.
ДО²=ЕД²+ЕО²=64+36=100, ДО=10.
sinЕДО=6/10=0,6.
Рассмотрим прямоугольный тр-ик ЕДН.
sin ЕДН=ЕН/ЕД=0,6, откуда ЕН=0,6×8=4,8.
ЕF=2×EH=2×4,8=9,6
Все в том же тр-ке найдем ДН по теореме Пиф.
ДН²=ЕД²-ЕН²=64-23,04=40,96; ДН=6,4.
Площадь - это половина произведения высоты на основание, т. е.
ответ: 37,68; 30,72.
Соединим точки А и В диаметра друг с другом, а также точку О с точками L и N. Опустим перпендикуляр ОК из точки О на касательную LN. Обозначим угол ВNО = al, а угол АLO = be.
Тр-ки ОNB и ОКВ равны, т.к. они прямоугольные (уг. OBN = уг. ОКN = 90гр.), у них общая гипотенуза ОN, а катеты OB = ОК и равны радиусу окружности.
Тогда уг.ВNО = уг.КNО = al.
Аналогично для тр-ков ОAL и ОКL: уг.ALO = уг.КLО = be.
В тр-ке LON сумма углов уг.КLО + уг.КNO = al + be, уг.LON =180 - (al + be)
Рассмотрим углы при точке О: уг. KON = 90-al, уг.KOL = 90-be, а уг.LON =180 -( уг. NOB + уг.LOA) = 180-(90-al)-(90-be) = al + be.
Итак получили: уг.LON =180 - (al + be) и уг.LON = al + be.
180 - (al + be) = al + be и 2(al + be) = 180. Откуда al + be =90гр.
И уг.LON = al + be = 90гр., т.е. тр-к LON - прямоугольный.