оловине гипотенузы ВС (СН=1/2CD, СD=BC как стороны ромба). Используем свойство прямоугольного треугольника: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CBH=30°
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол С:
<C=90-<CBH=90-30=60°, что и требовалось доказать.
2. ВМ=АВ-AM, CL=BC-BL, DP=CD-CP, AQ=AD-DQ, но
АМ=BL=СР=DQ по условию, а АВ=BC=CD=AD как стороны квадрата. Значит
ВМ=CL=DP=AQ
Прямоугольные треугольники MAQ, LBM, PCL и QDP равны, таким образом, по двум сторонам и углу между ними (углы А, B, C, D - прямые, АМ=BL=СР=DQ по условию, ВМ=CL=DP=AQ как только что доказано). У равных треугольников равны и соответственные стороны MQ, LM, LP и PQ. Значит, MLPQ-квадрат.
46.5. Искомая площадь вычисляется:
S=S₁-S₂-S₃,
S₁=π(AB)²/8; S₂=π(AD)²/8; S₃=π(DB)²/8.
S=π/8(AB²-AD²-DB²).
Подставим AB=AD+DB, CD²=AD*DB.
S=π/8(AD²+DB²+2AD*DB-AD²-DB²)=π*AD*DB/4 = π*CD²/4.
46.4. Рассмотрим четверть квадрата (Рис. ниже) со стороной a. Найдем S₁.
S₁=Sсек -Sтреуг, где Sсек - площадь сектора круга, ограниченного радиусами AB и AC, Sтреуг - площадь треугольника ABC.
Sсек = Sкр/4 = πa²/16.
Sтреуг = a²/8.
S₁ = a²/8*(π/2-1).
Искомая площадь: S=8*S₁ = a²*(π/2-1). По условию a=4 см.
S = 16(π/2-1) см.
46.6. Площадь (из задачи 46.5) вычисляется:
S=π*CD²/4 = π*AD*DB/4 = π*6*4/4 = 6π см².
Длина дуги окружности диаметра AB: L₁=πAB/2=5π см.
Длина дуги окружности диаметра AD: L₂=πAD/2=3π см.
Длина дуги окружности диаметра DB: L=πDB/2=2π см.
Периметр: L=L₁+L₂+L₃ = 5π+3π+2π = 10π см.
Объяснение:
оловине гипотенузы ВС (СН=1/2CD, СD=BC как стороны ромба). Используем свойство прямоугольного треугольника: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Значит
<CBH=30°
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол С:
<C=90-<CBH=90-30=60°, что и требовалось доказать.
2. ВМ=АВ-AM, CL=BC-BL, DP=CD-CP, AQ=AD-DQ, но
АМ=BL=СР=DQ по условию, а АВ=BC=CD=AD как стороны квадрата. Значит
ВМ=CL=DP=AQ
Прямоугольные треугольники MAQ, LBM, PCL и QDP равны, таким образом, по двум сторонам и углу между ними (углы А, B, C, D - прямые, АМ=BL=СР=DQ по условию, ВМ=CL=DP=AQ как только что доказано). У равных треугольников равны и соответственные стороны MQ, LM, LP и PQ. Значит, MLPQ-квадрат.