Найдите объем конуса, если хорда его основания, равная 6√2, отсекает четверть окружности основания, а угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.
Объем конуса по классической формуле V=1/3 S*H Высота Н равна радиусу основания, т.к. образующая АК, АО радиус основания и высота КО составляют равнобедренный прямоугольный треугольник -
так как образующая с основанием составляет равнобедренный треугольник с углом при основании 45°. Радиус найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенузой в котором данная в условии хорда - она отсекает четверть окружности, т.е дугу с центральным углом 360:4=90°. Длина хордыАС= 6√2. Соединив ее концы с центром окружности,
получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами-радиусами основания. Мы помним, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна а√2- катет равен а ( можно проверить по т.Пифагора). Итак, радиус конуса - 6, высота- 6. S=πr²=π6²=36π V=1/3·36π·6=72 (единиц объема)
Призма - правильная четырехугольная. В основании - квадрат. Диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Значит, диагональ квадрата-основания и высота призмы - катеты равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой - диагональю призмы. Длина этой гипотенузы дана в условии - 4 см Пусть х - катеты этого треугольника 4=х√2 х=4:√2=4√2:(√2*√2)=2√2 Диагональ основания квадрата =2√2 Высота призмы =2√2 Основание цилиндра - круг, ограниченный вписанной в квадрат окружностью. Радиус этой окружности равен половине стороны квадрата - основания призмы. Найдем эту сторону из формулы диагонали квадрата: d=а√2 Мы нашли d=2√2, значит сторона квадрата а=2 r= 2:2=1 Имеем цилиндр, высота которого по условию равна высоте призмы и равна 2√2, радиус основания цилиндра, найденный в процессе решения r =1 Площадь боковой поверхности цилинда равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. S =2πr*h= 2π*2√2 см²=4π√2 см²
Найдите объем конуса, если хорда
его основания, равная 6√2,
отсекает четверть окружности основания,
а угол между образующей
и плоскостью основания равен 45°.
Объем конуса по классической формуле
V=1/3 S*H
Высота Н равна радиусу основания, т.к. образующая АК, АО радиус основания и высота КО составляют равнобедренный прямоугольный треугольник -
так как образующая с основанием составляет равнобедренный треугольник с углом при основании 45°.
Радиус найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенузой в котором данная в условии хорда - она отсекает четверть окружности, т.е дугу с центральным углом 360:4=90°.
Длина хордыАС= 6√2.
Соединив ее концы с центром окружности,
получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами-радиусами основания.
Мы помним, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна а√2- катет равен а ( можно проверить по т.Пифагора).
Итак, радиус конуса - 6, высота- 6.
S=πr²=π6²=36π
V=1/3·36π·6=72 (единиц объема)
В основании - квадрат.
Диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Значит, диагональ квадрата-основания и высота призмы - катеты равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой - диагональю призмы.
Длина этой гипотенузы дана в условии - 4 см
Пусть х - катеты этого треугольника
4=х√2
х=4:√2=4√2:(√2*√2)=2√2
Диагональ основания квадрата =2√2
Высота призмы =2√2
Основание цилиндра - круг, ограниченный вписанной в квадрат окружностью.
Радиус этой окружности равен половине стороны квадрата - основания призмы.
Найдем эту сторону из формулы диагонали квадрата:
d=а√2
Мы нашли d=2√2, значит сторона квадрата а=2
r= 2:2=1
Имеем цилиндр, высота которого по условию равна высоте призмы и равна 2√2, радиус основания цилиндра, найденный в процессе решения
r =1
Площадь боковой поверхности цилинда равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.
S =2πr*h= 2π*2√2 см²=4π√2 см²