Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). Далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон попарно лежат на противоположных концах диаметров (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять внимание...). Поэтому при вращении на 180° вокруг центра окружности точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам). То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны. То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника. Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно). Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то x + y = 5; x + z = 7; y + z = 6; Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4) То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС. Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона. p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6; Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны.
То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника.
Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно).
Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то
x + y = 5;
x + z = 7;
y + z = 6;
Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4)
То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС.
Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона.
p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2;
S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6;
Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;