Дан треугольник АВС, ВС=а=12, СА=в+10,ВА=с=8. большая высота всегда бывает опущена на меньшую сторону, т. е. в нашей задаче на ВА=с. есть два решения: 1) изложен Саней, только напомню формулу герона S=корень из р (р-а) (р-в) (р-с) , где р=(а+в+с) /2=15. S=корень из1575=39,68см^2 h=9.92см. 2) обозначим основание высоты Е и ВЕ=у, ЕА=х. из треугольника ВСЕ h^2=a^2-y^2, из треугольника ЕСА h^2=b^2-x^2, тогда a^2-y^2=b^2-x^2, кроме того х+у=с, решая совместно эти два уравнения находим х=(c^2-a^2+b^2)/2c=1.25см, тогда h=корень из b^2-x^2=корень из 98,4375=9,92см.
Поскольку эти окружности касаются в одной точке, их центры находятся на одной прямой, проходящие через точку касания. Примем меньший радиус за х.Тогда второй радиус равен 2х х+2х=18 3х=18 х=6 см -меньший радиус 2х=12 см -больший радиус
h=9.92см. 2) обозначим основание высоты Е и ВЕ=у, ЕА=х. из треугольника ВСЕ h^2=a^2-y^2, из треугольника ЕСА h^2=b^2-x^2, тогда a^2-y^2=b^2-x^2,
кроме того х+у=с, решая совместно эти два уравнения находим х=(c^2-a^2+b^2)/2c=1.25см, тогда h=корень из b^2-x^2=корень из 98,4375=9,92см.