Знайдіть площу повної поверхні та об'єм прямокутного
паралелепіпеда , в основі якого лежить квадрат, якщо діагональ
паралелепіпеда дорівнює 12см і нахилена до площини основи під
кутом 60°​

Найдём все расстояния между точками:

АВ = sqrt((2 - (-1)) ^ 2 + (7 - 4) ^ 2) = sqrt(9 + 9) = 3sqrt2

BC = sqrt((1 - (-1)) ^ 2 + (4 - 2) ^ 2) = sqrt(4 + 4) = 2sqrt2

AC = sqrt((2 - 1) ^ 2 + (7 - 2) ^ 2) = sqrt(1 + 25) = sqrt26

Тип треугольника определяется по наибольшему углу, который, в свою очередь, лежит напротив наибольшей стороны треугольника. Чтобы сравнить стороны, можно возвести их длины в квадрат. На неравенство это не повлияет, так как каждая из сторон строго больше 0:

(АВ) ^ 2 = 18

(BC) ^ 2 = 8

(CD) ^ 2 = 26 - Наибольшая сторона.

Найдём наибольший угол треугольника по теореме косинусов:

26 = 18 + 8 - 2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)), где х - искомый угол. // - 26

2(3sqrt2)(2sqrt2)(cos(x)) = 0

12*2*cos(x) = 0

24cos(x) = 0 // : 24

cos(x) = 0

x = 90 или 180 градусов, но так как это угол в треугольнике, то он строго меньше 180 градусов (по теореме о сумме углов треугольника) ==> x = 90  градусов ==> треугольник ABC - прямоугольный, ч.т.д.

Сторона основания а = √64 = 8, половина диагонали основания АО = 4√2.

Так как отрезок КО лежит в плоскости DPO, перпендикулярной плоскости основания, в том числе и диагонали АС, то угол КОА равен 90 градусов.

Находим КО = АО*ctg(AKO) = 4√2*(√10/4) = √2*√10 = 2√5.

Так как КО - это медиана из прямого угла к гипотенузе, то гипотенуза (а это боковое ребро) равна двум медианам.

Значит, боковое ребро L равно 2*(2√5) = 4√5.

Высота пирамиды H = √(L² - (a/2)²) = √(16*5 - 16) = 8.

Апофема А = √(Н² + (а/2)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(8*4)*4√5 = 64√5.

Площадь поверхности S = So + Sбок = 64 + 64√5 = 64(1 + √5).