Дано: верхнее основание трапеции ВС = 12 левая боковая сторона АВ = 36 Правая боковая сторона СД = 39 ДМ - биссектириса и АМ = ВМ = 18 Найти: Sтрап Решение: Дополнительное построение: через точку М, середину стороны АВ проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции МК: СК = КД = 19,5 В ΔМКД угол КМД = углу МДА (накрест лежащие при параллельных МК и АД и секущей МД). Но угол МДА = углу КДМ, т.к. МД - биссектриса. Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5. Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД МК = (СД + АД)/2 19,5 = (12 + АД)/2 АД = 27 Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД. Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х Из ΔСНД выразим высоту СН=h СН² = CД² - ДН² или h² = 39² - х² Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h ВЕ² = АВ² - АЕ² или Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5. Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД МК = (СД + АД)/2 19,5 = (12 + АД)/2 АД = 27 Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД. Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х Из ΔСНД выразим высоту СН = h СН² = CД² - ДН² или h² = 39² - х² Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h ВЕ² = АВ² - АЕ² или h² = 36² - (15 - х)² Приравняем квадраты высот 39² - х² = 36² - (15 - х)² 1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х² 30х = 450 х = 15 Итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна h = √(1521 - 225) = √1296 = 36 Площадь трапеции S = МК·h = 19.5 · 36 = 702
Обозначим точки касания окружности треугольника : О - центр окружности , точка М∈АВ , точка К∈ АС, точка F∈CВ ОК перпендикулярно АС, ОF перпендикулярно ВС ( как радиусы проведённые в точки касания) . Четырехугольник ОКСF - квадрат т.к ОК=OF Гипотенуза АВ иочкой касания М разбивается на 2 отрезка АМ и МВ. Обозначим АМ=Х , тогда МВ=12-Х. По свойству касательных, проведённых из одной точки) имеем: АМ=АК=Х BF=ВМ=12-Х CF=CK=r=2 Сторона АС=Х+2 , Сторона ВС=(12-Х+2)=14-Х По теореме Пифагора : АВ²=АС²+ВС² подставим : (Х+2)²+(14;-Х)²=12²
Х²+4Х+4+196_28Х+Х²=144 2Х²-24Х+28=0 Х²-12Х+28=0 D=12²-4·28=144-112=32 √D=√32=4√2 Х1=6+2√2 Х2=6-2√2 Если АМ=6+2√2 , то АС=8+2√2 , ВС= 8-2√2 Если АМ=6-2√2 , то АС=8-2√2, ВС=8+2√√2 SΔ=1|2 AC·BC SΔ=1/2(8+2√2)(8-2√2)=1/2·(64-8)=1/2·56=28 ответ:28
верхнее основание трапеции ВС = 12
левая боковая сторона АВ = 36
Правая боковая сторона СД = 39
ДМ - биссектириса и АМ = ВМ = 18
Найти: Sтрап
Решение:
Дополнительное построение: через точку М, середину стороны АВ проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции МК: СК = КД = 19,5
В ΔМКД угол КМД = углу МДА (накрест лежащие при параллельных МК и АД и секущей МД). Но угол МДА = углу КДМ, т.к. МД - биссектриса.
Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН=h
СН² = CД² - ДН² или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ² или Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.
Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АД
МК = (СД + АД)/2
19,5 = (12 + АД)/2
АД = 27
Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.
Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - х
Из ΔСНД выразим высоту СН = h
СН² = CД² - ДН² или h² = 39² - х²
Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = h
ВЕ² = АВ² - АЕ² или h² = 36² - (15 - х)²
Приравняем квадраты высот
39² - х² = 36² - (15 - х)²
1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х²
30х = 450
х = 15
Итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна
h = √(1521 - 225) = √1296 = 36
Площадь трапеции S = МК·h = 19.5 · 36 = 702
ОК перпендикулярно АС, ОF перпендикулярно ВС ( как радиусы проведённые в точки касания) . Четырехугольник ОКСF - квадрат т.к ОК=OF
Гипотенуза АВ иочкой касания М разбивается на 2 отрезка АМ и МВ.
Обозначим АМ=Х , тогда МВ=12-Х. По свойству касательных, проведённых из одной точки) имеем: АМ=АК=Х BF=ВМ=12-Х CF=CK=r=2
Сторона АС=Х+2 , Сторона ВС=(12-Х+2)=14-Х
По теореме Пифагора : АВ²=АС²+ВС² подставим :
(Х+2)²+(14;-Х)²=12²
Х²+4Х+4+196_28Х+Х²=144
2Х²-24Х+28=0
Х²-12Х+28=0
D=12²-4·28=144-112=32 √D=√32=4√2
Х1=6+2√2
Х2=6-2√2
Если АМ=6+2√2 , то АС=8+2√2 , ВС= 8-2√2
Если АМ=6-2√2 , то АС=8-2√2, ВС=8+2√√2
SΔ=1|2 AC·BC
SΔ=1/2(8+2√2)(8-2√2)=1/2·(64-8)=1/2·56=28
ответ:28