Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA⊥AB, CB⊥AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD.
Проведем ВК║DA и ВК = DA. Тогда ABKD - параллелограмм, и так как DA⊥AB - прямоугольник.
АВ⊥ВК, АВ⊥СВ, значит АВ⊥(СВК) и ∠СВК = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников.
Так как отрезок АВ перпендикулярен плоскости СВК, то и плоскость АВС перпендикулярна плоскости СВК, поэтому перпендикуляр СН к плоскости АВС будет лежать в плоскости СВК.
ΔСВН: ∠СНВ = 90°, ∠СВН = 60°, ⇒ ∠ВСН = 30°, тогда
НВ = СВ/2 = 1,5
по теореме Пифагора:
СН = √(СВ² - ВН²) = √(9 - 9/4) = √(27/4) = 3√3/2
DK = AB = 4, КВ = AD = 2 как противоположные стороны прямоугольника,
Посмотри на чертеже DB - проекция диагонали на плоскость основания, угол D₁BD=β, a BC₁ - проекция диагонали на плоскость боковой грани, угол D₁BC₁=α, D₁D=AA₁=h.
Рассмотрим ΔD₁BD:
D₁D/BD=tgβ, следовательно
h/BD=tgβ,
BD=h/tgβ,
D₁B=DD₁/sinβ=h/sinβ.
Пусть х=АВ, у=АD, тогда из ΔАВD получим: х²+у²=BD²=h²/tg²β, а из ΔD₁BC₁: D₁C₁=D₁Bsinα
Угол между плоскостями АВС и АВD равен 60°, при этом DA⊥AB, CB⊥AB и АD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите CD.
Проведем ВК║DA и ВК = DA. Тогда ABKD - параллелограмм, и так как DA⊥AB - прямоугольник.
АВ⊥ВК, АВ⊥СВ, значит АВ⊥(СВК) и ∠СВК = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостями треугольников.
Так как отрезок АВ перпендикулярен плоскости СВК, то и плоскость АВС перпендикулярна плоскости СВК, поэтому перпендикуляр СН к плоскости АВС будет лежать в плоскости СВК.
ΔСВН: ∠СНВ = 90°, ∠СВН = 60°, ⇒ ∠ВСН = 30°, тогда
НВ = СВ/2 = 1,5
по теореме Пифагора:
СН = √(СВ² - ВН²) = √(9 - 9/4) = √(27/4) = 3√3/2
DK = AB = 4, КВ = AD = 2 как противоположные стороны прямоугольника,
КН = КВ - ВН = 2 - 1,5 = 0,5
ΔDKH: ∠DKH = 90°, по теореме Пифагора
DH = √(DK² + KH²) = √(16 + 1/4) = √(65/4) = √65/2
ΔCDH: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора
CD = √(CH² + DH²) = √(27/4 + 65/4) = √(96/4) = √23
Посмотри на чертеже DB - проекция диагонали на плоскость основания, угол D₁BD=β, a BC₁ - проекция диагонали на плоскость боковой грани, угол D₁BC₁=α, D₁D=AA₁=h.
Рассмотрим ΔD₁BD:
D₁D/BD=tgβ, следовательно
h/BD=tgβ,
BD=h/tgβ,
D₁B=DD₁/sinβ=h/sinβ.
Пусть х=АВ, у=АD, тогда из ΔАВD получим: х²+у²=BD²=h²/tg²β, а из ΔD₁BC₁: D₁C₁=D₁Bsinα
x=h/sinβ*sinα=h*sinα/sinβ
y²=√h²(1/tg²β-sin²α/sin²β)=h√cos²β/sin²β-sin²α/sin²β=h/sinβ*√cos²β-sin²α.
V=x*y*h=h*sinα/sinβ*h/sinβ*√cos²β-sin²α*h=h³sinα√cos²β-sin²α/sin²β (ответом будет дробь)