Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Пусть куб KMNPK1M1N1P1 имеет вершины K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ) Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение. Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B; тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники. Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1; то есть нормальный вектор (1,1,1). Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0) имеет еще более простое уравнение x = y; нормальный вектор (1, -1, 0) угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ)
Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение.
Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения
K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B;
тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники.
Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1;
то есть нормальный вектор (1,1,1).
Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0)
имеет еще более простое уравнение x = y;
нормальный вектор (1, -1, 0)
угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.
Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)