Теорема , обратная теореме Пифагора " Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный."
Пусть вписанная в треугольник ABC окружность с центром О касается сторон AB, BC, AC в точках N, K, M соответственно, а касательная в точке F пересекает AB и BC в точках R и T соответственно. Тогда, очевидно, MFTC - равнобочная трапеция (MF||TC, ∠FMC=90°+∠FMO, ∠MFT=90°+∠MFO, причем ∠FMO=∠MFO, поэтому ∠MFT=∠FMC). Значит, TK=FT=MC=KC=AM=AN (из свойств отрезков касательной, равнобочности трапеции MFTC и равнобедренности треугольника ABC). Кроме того, NR=RF. Итак, AC=TC, AR=RT, т.е. треугольники ACR и TCR равны, откуда CR - биссектриса ∠ACB. Т.к. биссектриса единственна, то все доказано.
Даны точки A (-10;3), B (2;9), C (3;7).
Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.
Объяснение:
1)Найдем длины сторон ( вдруг треугольник равносторонний).
АВ=√( (2+10)²+(9-3)²)=√180 ,
ВС=√( (3-2)²+(7-9)²)=√(1+4)=√5 ,
АС=√( (3+10)²+(7-3)²)=√(169+16)=√185. Наибольшая сторона АС.
Проверим т. обратную теореме Пифагора :
АС²=(√185)²=185 и АВ²+ВС²=(√180)²+(√5)²=180+5=185. Ура
185=185⇒ΔАВС-прямоугольный , с гипотенузой АВ.
2)Центр О(х;у) описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Найдем координаты О
х(О)=( (х(А)+х(В) ):2 , х(О)=(-10+2):2=-4,
у(О)=( (у(А)+у(В) ):2 , у(О)=(3+9):2=6, центр О(-4;6).
Радиус окружности r=1/2*AB , r=1/2*√185.
3) (x +4)²+ (y – 6)² = (1/2*√185)² , (x +4)²+ (y – 6)² = 46,25
Теорема , обратная теореме Пифагора " Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный."
Уравнение окружности (x – х₀)²+ (y – у₀)² = R² , где (х₀; у₀)-координаты центра.