Допустим, что отрезки не пересекаются. Тогда существует 2 точки пересечения прямых AB и CD( на отрезке AB и на отрезке CD). Но существует только 3 вида расположения прямых: пересечение, параллельность и совпадение. Прямые не совпадают, т.к. все точки не лежат на одной прямой, Прямые не параллельны, т.к. существует точка(и) их пересечения, но и не пересекаются, т.к. пересекающиеся прямые имеют только одну точку пересечения(в 7 классе проходится эта теорема... Евклида, что ли...). Мы пришли к противоречию, а значит, отрезки пересекаются.
Если обозначить h = CH; y = AH; x = NH; c = AB; то N - середина гипотенузы АВ. с^2 = a^2 + b^2; h = a*b/c; (площадь можно записать, как a*b/2; а можно как c*h/2;) Из подобия треугольников АВС и СНВ; y/b = h/a;то есть y = b*h/a; x = y - c/2; Площадь СNН равна x*h/2 = (y - c/2)*h/2 = y*h/2 - c*h/4 = (b/a)*h^2/2 - a*b/4 = (b/2a)*a^2*b^2/(b^2 + a^2) - a*b/4 = a*b^3/(2*(b^2 + a^2)) - a*b/4 = a*b/(4*(b^2 + a^2)*(2*b^2 - b^2 - a^2) = = (a*b/4)*(b^2 - a^2)/(b^2 + a^2); Это площадь CNH. Я не заметил, надо найти площадь не этого треугольника. Ну так найду еще и этого :)) М - середина СВ, площадь ВНМ равна половине площади СНВ, площадь СНВ равна z*h/2; где z = BH; То есть надо найти s = z*h/4; Опять таки из подобия СНВ и АСН z/a = h/b; h/a = y/b; то есть y/z = (b/a)^2; c = z*(1 + (b/a)^2); ch/2 = (z*h/2)*(1 + (b/a)^2); a*b/2 = (2*s)*(1 + (b/a)^2); s = (a*b/4)/(1 + (b/a)^2)
с^2 = a^2 + b^2;
h = a*b/c; (площадь можно записать, как a*b/2; а можно как c*h/2;)
Из подобия треугольников АВС и СНВ; y/b = h/a;то есть y = b*h/a;
x = y - c/2;
Площадь СNН равна
x*h/2 = (y - c/2)*h/2 = y*h/2 - c*h/4 = (b/a)*h^2/2 - a*b/4 = (b/2a)*a^2*b^2/(b^2 + a^2) - a*b/4 = a*b^3/(2*(b^2 + a^2)) - a*b/4 = a*b/(4*(b^2 + a^2)*(2*b^2 - b^2 - a^2) =
= (a*b/4)*(b^2 - a^2)/(b^2 + a^2);
Это площадь CNH. Я не заметил, надо найти площадь не этого треугольника. Ну так найду еще и этого :)) М - середина СВ, площадь ВНМ равна половине площади СНВ, площадь СНВ равна z*h/2; где z = BH;
То есть надо найти s = z*h/4;
Опять таки из подобия СНВ и АСН
z/a = h/b;
h/a = y/b;
то есть y/z = (b/a)^2;
c = z*(1 + (b/a)^2);
ch/2 = (z*h/2)*(1 + (b/a)^2);
a*b/2 = (2*s)*(1 + (b/a)^2);
s = (a*b/4)/(1 + (b/a)^2)