Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO=9 - это высота пирамиды. Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани. Двугранный угол SKО равен 30°. Из прямоугольного ΔSKО: SK=2SО=2*9=18 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы) ОК=√(SK²-SО²)=√(18²-9²)=√243=9√3 АВ=2ОК=2*9√3=18√3 Площадь основания Sосн=АВ²=(18√3)²=972 Периметр основания Р=4АВ=4*18√3=72√3 Площадь боковой поверхности Sбок=P*SK/2=72√3*18/2=648√3≈1122,37 Площадь полной поверхности Sполн=Sбок+Sосн=648√3+972≈2094,37
Sавсд=20, стороны АВ=СД=а, ВС=АД=b Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых). Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом. Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ) Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм. Найдем площадь параллелограмма Sмврд : Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10 Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса) Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД. Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2. Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2. ЕТ=2МД/5 Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5. Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД. Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4. ответ:4
Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO=9 - это высота пирамиды.
Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани.
Двугранный угол SKО равен 30°.
Из прямоугольного ΔSKО:
SK=2SО=2*9=18 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
ОК=√(SK²-SО²)=√(18²-9²)=√243=9√3
АВ=2ОК=2*9√3=18√3
Площадь основания Sосн=АВ²=(18√3)²=972
Периметр основания Р=4АВ=4*18√3=72√3
Площадь боковой поверхности
Sбок=P*SK/2=72√3*18/2=648√3≈1122,37
Площадь полной поверхности
Sполн=Sбок+Sосн=648√3+972≈2094,37
Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых).
Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом.
Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ)
Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм.
Найдем площадь параллелограмма Sмврд :
Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10
Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса)
Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД.
Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2.
Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2.
ЕТ=2МД/5
Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5.
Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД.
Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4.
ответ:4