Знайти відстань від точки P(-1;-2;2) до прямої (x/2)=(y/-2)=((z-2)/3)

Даны точка P(-1;-2;2) и прямая (x/2)=(y/-2)=((z-2)/3).

Из уравнения прямой получим:

s = 2; -2; 3   - направляющий вектор прямой;

M1 = 0; 0; 2   - точка лежащая на прямой.

Находим вектор РМ1.

РM1 = {M1x - Рx; M1y - Рy; M1z - Рz} = 0 - (-1); 0 - (-2); 2 - 2 = 1; 2; 0

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах РM1 и s:

S = |РM1 × s|

РM1 × s =    i    j    k

                  1    2     0

                  2   -2    3  =

= i (2·3 - 0·(-2)) - j (1·3 - 0·2) + k (1·(-2) - 2·2) =

= i (6 – 0) - j (3 – 0) + k (-2 – 4) =

= 6; -3; -6.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |РM1×s||s| = √(6² + (-3)² + (-6)²)/√(2² + (-2)² +3²) = √81/√17 = √(81/17) = 9√17/17 ≈ 2,18282.