1) Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение ¬(x A) →¬(x {1, 3, 7}) (¬(x {1, 2, 4, 5, 6}) (x {1, 3, 7}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.
Первое, что нужно сделать, это разобрать выражение и преобразовать его в более понятную форму. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности:
1) ¬(x ∈ A) означает "x не принадлежит множеству A".
2) ¬(x ∈ {1, 3, 7}) означает "x не принадлежит множеству {1, 3, 7}".
3) (¬(x ∈ {1, 2, 4, 5, 6}) означает "x не принадлежит множеству {1, 2, 4, 5, 6}".
4) (x ∈ {1, 3, 7}) означает "x принадлежит множеству {1, 3, 7}".
Теперь давайте посмотрим на всё выражение в целом. У нас есть условие, что это выражение истинно для любого значения переменной x. Это означает, что мы должны найти такое множество A, при котором выражение будет истинно для любого значения x.
Давайте рассмотрим каждую часть выражения и найдем условия, которые должны выполняться для истинности выражения.
1) ¬(x ∈ A) означает, что все значения x не должны принадлежать множеству A. Но так как мы ищем наименьшее возможное количество элементов множества A, то нам нужно, чтобы множество A было пустым. Это условие дают нам все значения x, когда x не принадлежит A.
2) ¬(x ∈ {1, 3, 7}) означает, что все значения x не должны принадлежать множеству {1, 3, 7}. Но так как данное множество имеет уже фиксированные элементы, то мы не можем сделать его множество пустым. Поэтому это условие не ограничивает количество элементов множества A.
3) (¬(x ∈ {1, 2, 4, 5, 6}) означает, что все значения x не должны принадлежать множеству {1, 2, 4, 5, 6}. Множество {1, 2, 4, 5, 6} имеет 5 элементов, поэтому чтобы выполнить это условие, множество A должно содержать хотя бы один элемент, не входящий в множество {1, 2, 4, 5, 6}.
4) (x ∈ {1, 3, 7}) означает, что все значения x должны принадлежать множеству {1, 3, 7}. Но так как у нас есть условие, что множество A должно быть пустым, то это условие не выполняется.
Итак, мы получили следующие условия:
- Множество A должно быть пустым.
- Множество A должно содержать хотя бы один элемент, не входящий в множество {1, 2, 4, 5, 6}.
Таким образом, наименьшее возможное количество элементов множества A равно 0, то есть множество A должно быть пустым.