1. Для упрощения логических формул мы можем использовать следующие законы алгебры логики:
- Закон двойного отрицания: ¬(¬p) = p (двойное отрицание равно исходному утверждению)
- Закон идемпотентности: p ∨ p = p (дублирование переменной в дизъюнкции)
- Закон исключения третьего: p ∨ ¬p = 1 (любая переменная или ее отрицание образует тождественное истиностное значение)
2. Теперь рассмотрим переключательные схемы и упростим их:
а) Упрощение для первой переключательной схемы:
- В данной схеме у нас есть два одинаковых каскада, состоящих из двух переключателей каждый. Мы можем заметить, что если оба переключателя в каждом каскаде переведены на одно и то же положение, то закрыт будет изначально открытый контакт, и на выходе будет 0. Таким образом, упростим данную схему следующим образом:
- Заменим каждый параллельно соединенный каскад на один переключатель:
- Оба переключателя в новой схеме имеют одно и то же положение, поэтому будут замкнуты концы электрической цепи и на выходе будет 0.
б) Упрощение для второй переключательной схемы:
- Обратим внимание, что данный вопрос имеет 4 варианта ответа (А, Б, В, Г), а значит, что выход переключательной схемы, должны управляться двумя переменными (назовем их p и q). Переключатели представляют собой запирающие элементы, которые закрывает текущую цепь на выходе, если имеет значение 1, и открывает, если имеет значение 0.
- Данное упрощение может быть выполнено для каждого варианта ответа по отдельности. При этом, мы можем использовать таблицу истинности, чтобы определить значения переменных p и q для каждого варианта ответа:
- Подставим значения переменных p и q в каждую переключательную схему и определим состояние выхода для каждого варианта ответа:
- Закон двойного отрицания: ¬(¬p) = p (двойное отрицание равно исходному утверждению)
- Закон идемпотентности: p ∨ p = p (дублирование переменной в дизъюнкции)
- Закон исключения третьего: p ∨ ¬p = 1 (любая переменная или ее отрицание образует тождественное истиностное значение)
Теперь рассмотрим каждую из логических формул:
а) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
- Применим закон дистрибутивности: (p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p) ∧ (q ∨ q)
- Упростим выражения: (1) ∧ (p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p) ∧ q
- По закону исключения третьего: 1 ∧ (p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p) ∧ q = (p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p) ∧ q
б) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
- Применим закон дистрибутивности: (p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬p) ∧ (¬p ∨ ¬q)
- Упростим выражения: (1) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p)
- По закону исключения третьего: 1 ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p) = (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p)
2. Теперь рассмотрим переключательные схемы и упростим их:
а) Упрощение для первой переключательной схемы:
- В данной схеме у нас есть два одинаковых каскада, состоящих из двух переключателей каждый. Мы можем заметить, что если оба переключателя в каждом каскаде переведены на одно и то же положение, то закрыт будет изначально открытый контакт, и на выходе будет 0. Таким образом, упростим данную схему следующим образом:
- Заменим каждый параллельно соединенный каскад на один переключатель:
- Оба переключателя в новой схеме имеют одно и то же положение, поэтому будут замкнуты концы электрической цепи и на выходе будет 0.
б) Упрощение для второй переключательной схемы:
- Обратим внимание, что данный вопрос имеет 4 варианта ответа (А, Б, В, Г), а значит, что выход переключательной схемы, должны управляться двумя переменными (назовем их p и q). Переключатели представляют собой запирающие элементы, которые закрывает текущую цепь на выходе, если имеет значение 1, и открывает, если имеет значение 0.
- Данное упрощение может быть выполнено для каждого варианта ответа по отдельности. При этом, мы можем использовать таблицу истинности, чтобы определить значения переменных p и q для каждого варианта ответа:
- Подставим значения переменных p и q в каждую переключательную схему и определим состояние выхода для каждого варианта ответа:
Вариант А: (00 ∨ 00) ∨ (00 ∨ 00) = 0 ∨ 0 = 0
Вариант Б: (00 ∨ 00) ∨ (00 ∨ 01) = 0 ∨ 1 = 1
Вариант В: (00 ∨ 01) ∨ (00 ∨ 00) = 1 ∨ 0 = 1
Вариант Г: (00 ∨ 01) ∨ (00 ∨ 01) = 1 ∨ 1 = 1
Таким образом, вариант А имеет значение выхода 0, варианты Б, В и Г имеют значение выхода 1.
Надеюсь, данное объяснение ответа было полным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.