1. Какая из данных логических функций является тождественно ложной?
• ¬ (A (B A))
• ¬ A ¬ B
• ¬ A ¬B
• ¬ A A B
2. Логическое выражение ¬ Y ¬ (( X Y) ¬ Y) X ¬ Y максимально упрощается до выражения
• X Y
• ¬ Y
• X
• 1
3. A, B и C – целые числа, для которых истинно высказывание:
(C < A C < B) ¬ (C+1 < A) ¬ (C+1 < B)
Чему равно C, если A=45 и B=18?
ответ:
4. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:
(X·(X+1) > 55) (X·X > 50)
ответ:
5. Сколько различных решений имеет уравнение
¬M K ¬N ¬J (L ¬L) = 0,
где J, K, L, M, N – логические переменные?
ответ:
а) ¬ (A (B A)): для выражения A (B A) истинно тождественное высказывание (это достигается при A = Ложь и B = Истина), а отрицание этого высказывания, то есть ¬ (A (B A)), будет ложным.
б) ¬ A ¬ B: если A = Ложь и B = Истина, то это высказывание будет истинным. Поэтому оно не является тождественно ложным.
в) ¬ A ¬B: при A = Ложь и B = Истина, это выражение истинно. Поэтому оно не является тождественно ложным.
г) ¬ A A B: если A = Ложь, то ¬ A = Истина, а выражение A B всегда будет Ложью. Значит, данное высказывание является тождественно ложным.
Таким образом, ответом на первый вопрос является ¬ A A B.
2. Теперь проанализируем логическое выражение ¬ Y ¬ (( X Y) ¬ Y) X ¬ Y и упростим его:
а) ¬ Y ¬ (( X Y) ¬ Y): внутри скобок у нас есть конъюнкция X Y и ¬ Y, которая является истинной только в случае, если и X, и Y являются ложными. Тогда это выражение можно упростить до ¬ Y ¬ (Ложь ¬ Y).
б) ¬ Y ¬ (Ложь ¬ Y): здесь мы имеем конъюнкцию Ложь ¬ Y, которая всегда является ложной. Поэтому это выражение упрощается до ¬ Y Ложь.
в) ¬ Y Ложь: в данном случае имеем дизъюнкцию ¬ Y и Ложь, которая всегда будет истинной. Поэтому исходное логическое выражение максимально упрощается до Ложь.
Таким образом, ответом на второй вопрос является Ложь.
3. Для вычисления значения переменной C в данном высказывании, нужно подставить значения A = 45 и B = 18.
Высказывание (C < A C < B) ¬ (C+1 < A) ¬ (C+1 < B) можно разбить на три части:
а) C < A C < B: здесь мы сравниваем C с A и B. При подстановке A = 45 и B = 18 мы получаем C < 45 C < 18, что эквивалентно C < 18.
б) ¬ (C+1 < A): в данном случае мы сравниваем C+1 с A. При подстановке A = 45 мы получаем ¬ (C+1 < 45), что эквивалентно C+1 ≥ 45. Если вычтем 1 из обеих сторон, получим C ≥ 44.
в) ¬ (C+1 < B): аналогично предыдущему пункту, здесь мы сравниваем C+1 с B. При подстановке B = 18 мы получаем ¬ (C+1 < 18), что эквивалентно C+1 ≥ 18. Если вычтем 1 из обеих сторон, получим C ≥ 17.
Таким образом, мы получили, что C < 18, C ≥ 44 и C ≥ 17. Следовательно, наше значение для C должно удовлетворять всем этим условиям. Единственным числом, удовлетворяющим всем данным условиям, является C = 45.
Ответом на третий вопрос будет C = 45.
4. Для нахождения наибольшего целого положительного числа X, при котором ложно высказывание (X·(X+1) > 55) (X·X > 50), нужно проанализировать каждую часть высказывания:
а) X·(X+1) > 55: если мы умножим X на (X+1), и это произведение будет больше 55, то данная часть высказывания будет истинной. Поэтому нам нужно найти такое значение X, при котором X·(X+1) ≤ 55.
б) X·X > 50: если мы умножим X на X, и это произведение будет больше 50, то данная часть высказывания будет истинной. Поэтому нам нужно найти такое значение X, при котором X·X ≤ 50.
Теперь мы можем анализировать данные условия:
а) X·(X+1) ≤ 55: решим данное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения X·(X+1) = 55. Получим X² + X - 55 = 0. Решая это уравнение, получим X ≈ 7,6 и X ≈ -8,6. Так как нам нужно найти наибольшее положительное число, возьмем X ≈ 7,6 или округлим до ближайшего целого числа, получим X = 8.
б) X·X ≤ 50: решим данное неравенство. Получим X² ≤ 50. Корень квадратный из 50 приближенно равен 7,07. Значит, X ≤ 7.
Таким образом, наше значение X должно быть между 8 и 7. Максимальное целое положительное значение X будет X = 7.
Ответом на четвертый вопрос будет X = 7.
5. Для нахождения количества различных решений уравнения:
¬M K ¬N ¬J (L ¬L) = 0, где J, K, L, M, N – логические переменные, нужно проанализировать каждую часть выражения:
а) ¬M: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при M = Ложь.
б) K: данное слагаемое встречается просто в виде переменной K.
в) ¬N: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при N = Ложь.
г) ¬J: для данного слагаемого исходное выражение будет Истина только при J = Ложь.
д) (L ¬L): данное слагаемое представляет собой дизъюнкцию L и ¬L, которая всегда будет истинной.
Теперь анализируем: ¬M K ¬N ¬J (L ¬L) = 0.
Получаем, что Истина должна быть равна 0, что означает, что все слагаемые в данном выражении должны быть Ложью.
Таким образом, уравнение имеет только одно решение: M = Ложь, K = Ложь, N = Ложь, J = Ложь, L = Ложь.
Ответом на пятый вопрос будет одно решение.