1) на числовой прямой даны два отрезка: p = [21, 35] и q = [8, 25]. отрезок a таков, что формула
((x ∉ p) ∨ (x ∈ q)) → (x ∉ a)
истинна при любом значении переменной x. какое наибольшее количество точек, соответствующих чётным целым числам, может содержать отрезок a?
2) на числовой прямой даны два отрезка: p = [12, 28] и q = [15, 30]. отрезок a таков, что формула
((x ∈ p) → (x ∈ a)) ∧ ((x ∉ q)  (x ∈ a))
истинна при любом значении переменной x. определите наименьшую возможную длину отрезка a.
3) на числовой прямой даны два отрезка: p = [0, 10] и q = [25, 50]. отрезок a таков, что формула
(x ∉ a) → ((x ∉ p) ∧ (x ∉ q))
истинна при любом значении переменной x. определите наименьшую возможную длину отрезка a.
4) для какого наибольшего целого числа а формула
( (y*y ≤ a) → (y ≤ 15) ) ∧ ( (x ≤ 3) → (x*x < a) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
5) для какого наименьшего целого числа а формула
( (y*y < a) → (y ≤ 14) ) ∧ ( (x ≤ 13) → (x*x < a) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
6) сколько существует целых значений а, при которых формула
( (x ≥ 15) → (x*x > a) ) ∧ ( (y*y ≥ a) → (y > 11) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
7) сколько существует целых значений а, при которых формула
( (x ≥ 11) → (x*x+2*x > a) ) ∧ ( (y*y + 3*y ≥ a) → (y > 8) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)? ​

1) Для решения данной задачи можно составить таблицу истинности формулы, подставляя различные значения переменной x и проверяя, выполняется ли формула при этих значениях.

x | (x ∉ p) ∨ (x ∈ q) | (x ∉ a) | ((x ∉ p) ∨ (x ∈ q)) → (x ∉ a) |
-------------------------------------------
21 | Ложь | Ложь | Истина |
-------------------------------------------
22 | Ложь | Ложь | Истина |
-------------------------------------------
23 | Ложь | Ложь | Истина |
-------------------------------------------
...
25 | Ложь | Ложь | Истина |
-------------------------------------------
26 | Ложь | Истина| Истина |
-------------------------------------------
...
35 | Ложь | Истина| Истина |
-------------------------------------------
36 | Истина | Ложь | Ложь |
-------------------------------------------

Из таблицы видно, что формула истинна при значениях x от 26 до 35 включительно.

Отрезок a не содержит граничные точки, поэтому в данном случае отрезок a будет содержать 10 точек, соответствующих четным целым числам от 26 до 34.

2) Аналогично первой задаче можно составить таблицу истинности для второй формулы.

x | (x ∈ p) → (x ∈ a) | (x ∉ q)  (x ∈ a) | ((x ∈ p) → (x ∈ a)) ∧ ((x ∉ q)  (x ∈ a)) |
--------------------------------------------------------
12 | Истина | Истина | Истина |
--------------------------------------------------------
13 | Истина | Истина | Истина |
--------------------------------------------------------
...
28 | Истина | Ложь | Ложь |
--------------------------------------------------------
29 | Ложь | Истина | Ложь |
--------------------------------------------------------
...
30 | Ложь | Истина | Ложь |
--------------------------------------------------------

Из таблицы видно, что формула будет истинна при значениях x от 12 до 28 включительно.

Наименьшая возможная длина отрезка a будет равна 17 (28 - 12 + 1).

3) Аналогично первым двум задачам можно составить таблицу истинности для третьей формулы.

x | x ∉ a | (x ∉ p) ∧ (x ∉ q) | (x ∉ a) → ((x ∉ p) ∧ (x ∉ q)) |
----------------------------------------------------------------
0 | Истина | Истина | Истина |
----------------------------------------------------------------
1 | Истина | Истина | Истина |
----------------------------------------------------------------
...
10 | Истина | Истина | Истина |
-----------------------------------------------------------------
11 | Ложь | Ложь | Истина |
-----------------------------------------------------------------
12 | Ложь | Истина | Истина |
-----------------------------------------------------------------
...
25 | Ложь | Истина | Истина |
-----------------------------------------------------------------
26 | Ложь | Ложь | Ложь |
-----------------------------------------------------------------
...
50 | Ложь | Ложь | Ложь |
-----------------------------------------------------------------

Из таблицы видно, что формула истинна при значениях x от 0 до 10 включительно.

Наименьшая возможная длина отрезка a будет равна 11.

4) Для решения этой задачи можно перебрать различные значения a и проверять истинность формулы при этих значениях.

При a = 0:
- Если y^2 ≤ a, то y ≤ 15 (истинно)
- Если x ≤ 3, то x^2 < a (истинно)

При a = 1:
- Если y^2 ≤ a, то y ≤ 15 (истинно)
- Если x ≤ 3, то x^2 < a (истинно)

...
При a = 225:
- Если y^2 ≤ a, то y ≤ 15 (истинно)
- Если x ≤ 3, то x^2 < a (истинно)

При a = 226:
- Если y^2 ≤ a, то y ≤ 15 (истинно)
(для x ≤ 3 условие x^2 < a нарушается)

Таким образом, наибольшее целое число a, при котором формула тождественно истинна, равно 225.

5) Аналогично предыдущей задаче, можно перебрать различные значения a и проверять истинность формулы при этих значениях.

При a = 0:
- Если y^2 < a, то y ≤ 14 (истинно)
- Если x ≤ 13, то x^2 < a (истинно)

При a = 1:
- Если y^2 < a, то y ≤ 14 (истинно)
- Если x ≤ 13, то x^2 < a (истинно)

...
При a = 196:
- Если y^2 < a, то y ≤ 14 (истинно)
- Если x ≤ 13, то x^2 < a (истинно)

При a = 197:
- Если y^2 < a, то y ≤ 14 (истинно)
(для x ≤ 13 условие x^2 < a нарушается)

Таким образом, наименьшее целое число a, при котором формула тождественно истинна, равно 196.

6) Аналогично предыдущим задачам, можно составить таблицу истинности для шестой формулы.

x | (x ≥ 15) → (x^2 > a) | (y^2 ≥ a) → (y > 11) | ((x ≥ 15) → (x^2 > a)) ∧ ((y^2 ≥ a) → (y > 11)) |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
0 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
1 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
...
11 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
12 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
13 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
14 | Истина | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
15 | Ложь | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
16 | Ложь | Ложь | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
17 | Ложь | Истина | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------
...
∞ | Ложь | Истина | Ложь |
---------------------------------------------------------------------------------------------------

Из таблицы видно, что формула тождественно истинна при любом значении a.

7) Аналогично предыдущим задачам, можно составить таблицу истинности для седьмой формулы.

x | (x ≥ 11) → (x^2 + 2x > a) | (y^2 + 3y ≥ a) → (y > 8) | ((x ≥ 11) → (x^2 + 2x > a)) ∧ ((y^2 + 3y ≥ a) → (y > 8)) |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 | Истина | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 | Истина | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
...
9 | Истина | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10 | Истина | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 | Ложь | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12 | Ложь | Ложь | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
...
∞ | Ложь | Истина | Ложь |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Из таблицы видно, что формула тождественно истинна при любом значении a.

Таким образом, количество целых значений а, при которых формула тождественно истинна в шестой и седьмой задачах равно бесконечности.