10 шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 может встречаться ровно два раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Рассмотрим возможные варианты кода:

11222         кол. для каждого случая =5!/(2!*3!) =5*4/2=10
11333               всего:        10*3 =30
11444

11223                  5!/(2!*2!*1!) = 5*4*3/2=30
11224                   всего:   30*6 =180
11332
11334
11442
11443

11234        5! / (2!1!1!1!) = 5*4*3=60

Итого: 180+30+60 = 270

Ну, поскольку уточнения по задаче не получил, буду считать, что цифра 1 может встречаться ровно два раза в КАЖДОЙ комбинаций (в противном случае ответ, конечно, будет другой):

Всего используется 4 знака.Нормализуем последовательность к нулю , от этого количество комбинаций не изменится:
было : 111111 - 44444
стало:  00000 - 33333

Исключаем из общего количества комбинаций комбинации с двумя единицами (всего 9):
11ххх 1х1хх 1хх1х 1ххх1
х11хх х1х1х х1хх1
хх11х хх1х1
ххх11
значимыми остаются только 3 разряда из 5.
333 в 4-ричной системе счиления равно 63 в 10-ричной. - именно столько комбинаций будет при условии, что  два разряда выставлены в единицы.
9х63=563 - столько комбинаций будет всего.