A ∧ B ≡ B ∧ C = (A ∧ B ∧ B ∧ C) ∨ ( -(A ∧ B) ∧ -(B ∧ C) ) =
Первая скобка упрощается по закону повторения (B ∧ B = B), а вторая скобка, а точнее отрицание раскрывается по закону де Моргана:
= (A ∧ B ∧ C) ∨ ( -A ∨ -B ∧ -B ∨ -C) =
По закону исключения третьего (A ∨ -A = 1) упрощаем запись:
= 1
На самом деле я здесь очень сильно упростил запись. На самом деле нам не помешало бы раскрыть данную дизъюнкцию, "перемножив" A на -A, A на -B, A на -C, B на -A и так далее. Но в итоге данная запись сократится в единицу.
Теперь рассмотрим импликацию (⇒):
(x ⇒ y) = -x ∧ y
Применим к нашим данным:
(-C ⇒ A) = -(-C) ∧ A =
По закону двойного отрицания (-(-C) = C):
C ∧ A
Итого наш пример принял такой вид:
1 ∨ C ∧ A
Данное выражение всегда истинно, поскольку дизъюнкция истинна в том случае, когда одно из выражений истинно, а в нашем случае левая часть (единица), то есть дизъюнкция вседа истинна.
В алгебре логики различают три вида логических операций:
Конъюкция - это логическое умножение, обозначается &, ^, И
Дизъюнкция - это логическое сложение, обозначается ∨, I, ИЛИ, +
Инверсия - это логическое отрицание(т.е., если у нас 0, то с инверсии у нас получится 1), обозначаем ее как HE, ¬, -
Логические операции имеют свой порядок: сначала инверсия, потом конъюкция, потом дизъюнкция.
Давай подсчитаем количество переменных в логическом выражении: это A, B, C, т.е., 3 переменные. Подсчитаем количество действий в этом выражении: 5 действий.
Сложим кол-во действий и кол-во переменных и получим количество столбцов в таблице.
3 + 5 = 8 столбцов.
Теперь определим количество строк в таблице. Для этого воспользуемся формулой m = 2^n.
m = 2^3 = 8 строк в таблице, не считая шапки таблицы.
Чертим таблицу:
A B C A ^ B B ^ C A ^ C A^B∨B B^C∨A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Расставим порядок действий: первым действием у нас будет A ^ B, так как конъюкция первее дизъюнкции.
Вторым действием будет B ^ C по выше сказанной причине.
Третьим действием будет A ^ C
Четвертым действием A ^ B ∨ B
Пятым действием будет B ^ C ∨ A
В таблице будет только две цифры - 0 и 1. В первых трех действиях конъюкция(лог.умножение), т.е. мы будем умножать 0 и 1. В последних двух действиях - конъюкция с дизъюнкцией, т.е. сначала будем умножать B на C и прибавлять к A. (Если алгебру знаешь - справишься).
Задача решена.
P.S Если у всех троих переменных 0 - то во всех логических действиях у них будет результат, равный нулю. Тоже самое и с ситуацией, когда все три переменные равны 1.
При любых A, B и C данное выражение истинно.
Объяснение:Для начала упростим эквивалентность и импликацию.
Экивалентность (≡) раскрывается вот так:
x ≡ y = x ∧ y ∨ -x ∧ -yПрименим к нашим данным:
A ∧ B ≡ B ∧ C = (A ∧ B ∧ B ∧ C) ∨ ( -(A ∧ B) ∧ -(B ∧ C) ) =
Первая скобка упрощается по закону повторения (B ∧ B = B), а вторая скобка, а точнее отрицание раскрывается по закону де Моргана:
= (A ∧ B ∧ C) ∨ ( -A ∨ -B ∧ -B ∨ -C) =
По закону исключения третьего (A ∨ -A = 1) упрощаем запись:
= 1
На самом деле я здесь очень сильно упростил запись. На самом деле нам не помешало бы раскрыть данную дизъюнкцию, "перемножив" A на -A, A на -B, A на -C, B на -A и так далее. Но в итоге данная запись сократится в единицу.
Теперь рассмотрим импликацию (⇒):
(x ⇒ y) = -x ∧ yПрименим к нашим данным:
(-C ⇒ A) = -(-C) ∧ A =
По закону двойного отрицания (-(-C) = C):
C ∧ A
Итого наш пример принял такой вид:
1 ∨ C ∧ A
Данное выражение всегда истинно, поскольку дизъюнкция истинна в том случае, когда одно из выражений истинно, а в нашем случае левая часть (единица), то есть дизъюнкция вседа истинна.
Объяснение:
A ^ B ∨ B ^ C ∨ A ^ C
В алгебре логики различают три вида логических операций:
Конъюкция - это логическое умножение, обозначается &, ^, И
Дизъюнкция - это логическое сложение, обозначается ∨, I, ИЛИ, +
Инверсия - это логическое отрицание(т.е., если у нас 0, то с инверсии у нас получится 1), обозначаем ее как HE, ¬, -
Логические операции имеют свой порядок: сначала инверсия, потом конъюкция, потом дизъюнкция.
Давай подсчитаем количество переменных в логическом выражении: это A, B, C, т.е., 3 переменные. Подсчитаем количество действий в этом выражении: 5 действий.
Сложим кол-во действий и кол-во переменных и получим количество столбцов в таблице.
3 + 5 = 8 столбцов.
Теперь определим количество строк в таблице. Для этого воспользуемся формулой m = 2^n.
m = 2^3 = 8 строк в таблице, не считая шапки таблицы.
Чертим таблицу:
A B C A ^ B B ^ C A ^ C A^B∨B B^C∨A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Расставим порядок действий: первым действием у нас будет A ^ B, так как конъюкция первее дизъюнкции.
Вторым действием будет B ^ C по выше сказанной причине.
Третьим действием будет A ^ C
Четвертым действием A ^ B ∨ B
Пятым действием будет B ^ C ∨ A
В таблице будет только две цифры - 0 и 1. В первых трех действиях конъюкция(лог.умножение), т.е. мы будем умножать 0 и 1. В последних двух действиях - конъюкция с дизъюнкцией, т.е. сначала будем умножать B на C и прибавлять к A. (Если алгебру знаешь - справишься).
Задача решена.
P.S Если у всех троих переменных 0 - то во всех логических действиях у них будет результат, равный нулю. Тоже самое и с ситуацией, когда все три переменные равны 1.