Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (7, 9). За один ход из позиции (7, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (8, 9), (28, 9), (7, 10), (7, 36). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 151. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 151 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 141.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна
Заметим, что игра должна закончиться в 2 хода. Минимальное значение количества камней в обеих кучах, при котором игра заканчивается — 77. Эта ситуация возможна, например, когда в первой куче 7 камней, а во второй — 70. Значит, чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом, количество камней во второй куче должно быть ≥35. Поскольку удваиванием число 35 получить нельзя, после первого хода Пети во второй куче должно получиться 36 камней. Это возможно при значении S = 18. При таком минимальном значении S Ваня выиграет своим первым ходом после неудачного хода Пети.
ответ:18.