Известно, что уравнение 2sin(5x)+3cos(7x) = 0 на отрезке [0; 0,5] имеет единственный корень. Найдите его приблизительное значение с точностью не менее 0,00001 и запишите в ответе найденное значение ровно с пятью значащими цифрами после запятой.
Для решения данного уравнения 2sin(5x)+3cos(7x) = 0 на отрезке [0; 0,5] будем использовать метод численного решения уравнений.
Шаг 1: Разделим исходное уравнение на 2, чтобы упростить его вид:
sin(5x) + 1.5cos(7x) = 0
Шаг 2: Заметим, что уравнение имеет две тригонометрические функции, поэтому мы не сможем найти точное аналитическое решение. Поэтому воспользуемся численным методом.
Шаг 3: Разрешим уравнение относительно sin(5x):
sin(5x) = -1.5cos(7x)
Шаг 4: Подставим sin(5x) = sqrt(1 - cos^2(5x)) и cos(7x) = sqrt(1 - sin^2(7x)) в исходное уравнение:
sqrt(1 - cos^2(5x)) = -1.5sqrt(1 - sin^2(7x))
Шаг 5: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
1 - cos^2(5x) = 2.25(1 - sin^2(7x))
1 - cos^2(5x) = 2.25 - 2.25sin^2(7x)
Шаг 6: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
2.25sin^2(7x) - cos^2(5x) + 1.25 = 0
Шаг 7: По определению sin^2(theta) = (1 - cos(2theta))/2 и cos^2(theta) = (1 + cos(2theta))/2, получим:
Шаг 9: Обозначим f(x) = 0.375 - 1.125cos(14x) - 0.5cos(10x) и рассмотрим ее график на отрезке [0; 0.5]:
Шаг 10: Применим метод половинного деления (метод бисекции) для нахождения корня с заданной точностью.
Для начала определим начальные границы отрезка, в котором мы ищем корень. График функции f(x) пересекает ось Ox между значениями x = 0 и x = 0.5, поэтому примем начальные границы отрезка: a = 0 и b = 0.5.
Шаг 11: Найдем середину отрезка и значение функции в этой точке:
c = (a + b) / 2
f(c) = 0.375 - 1.125cos(14c) - 0.5cos(10c)
Шаг 12: Если значение функции f(c) близко к нулю, то корень найден с достаточной точностью. В противном случае, определим новые границы отрезка в зависимости от знака функции в точке c.
Если f(c) > 0, то новые границы a и b будут: a = a, b = c.
Если f(c) < 0, то новые границы a и b будут: a = c, b = b.
Шаг 13: Повторяем шаги 11 и 12 до тех пор, пока не достигнем заданной точности.
Таким образом, для получения приблизительного значения корня уравнения 2sin(5x)+3cos(7x) = 0 на отрезке [0; 0.5] с точностью не менее 0.00001 можно использовать метод половинного деления (метод бисекции) с выбранными начальными границами и последовательным сокращением интервала пополам до достижения заданной точности.
Шаг 1: Разделим исходное уравнение на 2, чтобы упростить его вид:
sin(5x) + 1.5cos(7x) = 0
Шаг 2: Заметим, что уравнение имеет две тригонометрические функции, поэтому мы не сможем найти точное аналитическое решение. Поэтому воспользуемся численным методом.
Шаг 3: Разрешим уравнение относительно sin(5x):
sin(5x) = -1.5cos(7x)
Шаг 4: Подставим sin(5x) = sqrt(1 - cos^2(5x)) и cos(7x) = sqrt(1 - sin^2(7x)) в исходное уравнение:
sqrt(1 - cos^2(5x)) = -1.5sqrt(1 - sin^2(7x))
Шаг 5: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
1 - cos^2(5x) = 2.25(1 - sin^2(7x))
1 - cos^2(5x) = 2.25 - 2.25sin^2(7x)
Шаг 6: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
2.25sin^2(7x) - cos^2(5x) + 1.25 = 0
Шаг 7: По определению sin^2(theta) = (1 - cos(2theta))/2 и cos^2(theta) = (1 + cos(2theta))/2, получим:
2.25(1 - cos(14x))/2 - (1 + cos(10x))/2 + 1.25 = 0
Шаг 8: Упрощаем уравнение:
1.125 - 1.125cos(14x) - 0.5 - 0.5cos(10x) + 1.25 = 0
0.375 - 1.125cos(14x) - 0.5cos(10x) = 0
Шаг 9: Обозначим f(x) = 0.375 - 1.125cos(14x) - 0.5cos(10x) и рассмотрим ее график на отрезке [0; 0.5]:
Шаг 10: Применим метод половинного деления (метод бисекции) для нахождения корня с заданной точностью.
Для начала определим начальные границы отрезка, в котором мы ищем корень. График функции f(x) пересекает ось Ox между значениями x = 0 и x = 0.5, поэтому примем начальные границы отрезка: a = 0 и b = 0.5.
Шаг 11: Найдем середину отрезка и значение функции в этой точке:
c = (a + b) / 2
f(c) = 0.375 - 1.125cos(14c) - 0.5cos(10c)
Шаг 12: Если значение функции f(c) близко к нулю, то корень найден с достаточной точностью. В противном случае, определим новые границы отрезка в зависимости от знака функции в точке c.
Если f(c) > 0, то новые границы a и b будут: a = a, b = c.
Если f(c) < 0, то новые границы a и b будут: a = c, b = b.
Шаг 13: Повторяем шаги 11 и 12 до тех пор, пока не достигнем заданной точности.
Таким образом, для получения приблизительного значения корня уравнения 2sin(5x)+3cos(7x) = 0 на отрезке [0; 0.5] с точностью не менее 0.00001 можно использовать метод половинного деления (метод бисекции) с выбранными начальными границами и последовательным сокращением интервала пополам до достижения заданной точности.