Эта задача сводится к задаче поиска пути на графе пространства состояний.
Состояние - положение черепашки на поле - (x, y).
Граф пространства состояний состоит из таких вершин-состояний, их количество N * M.
Переходов между вершинами всего два: R и D.
Здесь можно заметить, что прийти к одним и тем же вершинам мы можем разными путями. Например, путь из (0,0) в (1,1) можно расписать и как RD ((0,0) -> (0,1) -> (1,1)), и как DR ((0,0) -> (1,0) -> (1,1)), но это два разных маршрута.
Однако при неизменном ценовом листе максимальная стоимость и оный маршрут в любой клетке поля значение строго определённое и неизменное во времени.
Это значит, что нам не нужно рассчитывать результат для одинаковых состояний больше одного раза, так как они будут совпадать.
Итак, для каждого состояния у нас есть два правила перехода. Рассчитывая максимальную стоимость маршрута для состояния (x,y) мы следуем алгоритму:
Если можем идти вправо, рассчитываем параметры для этого маршрутаЕсли можем идти вниз, рассчитываем параметры для этого маршрутаВыбираем между путями, если можем идти, или стоим, если уже не можемК выбранному варианту добавляем параметры текущего состояния
Если такой алгоритм применить к состоянию (0,0), то дойдем до (N, M) и получим максимальную цену и маршрут.
Объяснение:
Эта задача сводится к задаче поиска пути на графе пространства состояний.
Состояние - положение черепашки на поле - (x, y).
Граф пространства состояний состоит из таких вершин-состояний, их количество N * M.
Переходов между вершинами всего два: R и D.
Здесь можно заметить, что прийти к одним и тем же вершинам мы можем разными путями. Например, путь из (0,0) в (1,1) можно расписать и как RD ((0,0) -> (0,1) -> (1,1)), и как DR ((0,0) -> (1,0) -> (1,1)), но это два разных маршрута.
Однако при неизменном ценовом листе максимальная стоимость и оный маршрут в любой клетке поля значение строго определённое и неизменное во времени.
Это значит, что нам не нужно рассчитывать результат для одинаковых состояний больше одного раза, так как они будут совпадать.
Итак, для каждого состояния у нас есть два правила перехода. Рассчитывая максимальную стоимость маршрута для состояния (x,y) мы следуем алгоритму:
Если можем идти вправо, рассчитываем параметры для этого маршрутаЕсли можем идти вниз, рассчитываем параметры для этого маршрутаВыбираем между путями, если можем идти, или стоим, если уже не можемК выбранному варианту добавляем параметры текущего состоянияЕсли такой алгоритм применить к состоянию (0,0), то дойдем до (N, M) и получим максимальную цену и маршрут.
Код:
import re
from typing import List
cache = {}
def calculate_max_way_price(x: int, y: int, prices: List[List[int]], m:int, n:int):
if (x, y) in cache:
return cache[(x, y)]
direction = ''
cost = prices[y][x]
x_cost, y_cost = -1, -1
x_way, y_way = '', ''
if x < m - 1:
x_cost, x_way = calculate_max_way_price(x + 1, y, prices, m, n)
if y < n - 1:
y_cost, y_way = calculate_max_way_price(x, y + 1, prices, m, n)
if not (x_cost < 0 and y_cost < 0):
if x_cost > y_cost:
cost += x_cost
direction = 'R' + x_way
else:
cost += y_cost
direction = 'D' + y_way
cache[(x, y)] = (cost, direction)
return cost, direction
MNtext = input('Enter N M: ')
MN = [int(x) for x in re.findall(r'\d+', MNtext)]
if len(MN) != 2:
print("Input data error! It is not M and N")
exit(-1)
N, M = MN[0], MN[1]
MAX_STEP_PRICE = 100
data = input('Enter all numbers separated by spaces. You must type ' + str(M*N) + ' elements:')
data = [int(x) for x in re.findall(r'\d+', data)]
if len(data) != N * M:
print("Input data error! Too few/many numbers")
exit(-2)
prices = []
for j in range(N):
prices.append(data[M*j:M*(j+1)])
print(calculate_max_way_price(0, 0, prices, M, N))
global n,m,matrix,pathmatrix
def rec(x, y):
try:
return pathmatrix[x,y]
except:
if x > 0:
left = rec(x - 1, y)
else:
left = (-1,[])
if y > 0:
up = rec(x, y - 1)
else:
up = (-1,[])
maxdist = max(left[0], up[0]) + matrix[x][y]
if left[0] > up[0]:
path = pathmatrix[x - 1,y][1].copy()
path.append('D')
else:
path = pathmatrix[x,y - 1][1].copy()
path.append('R')
pathmatrix[x,y] = (maxdist,path)
return pathmatrix[x,y]
n,m = [int(i) for i in input().split()]
matrix = [[int(i) for i in input().split()] for j in range(n)]
pathmatrix = {(0,0) : (matrix[0][0], [])}
res = rec(n-1,m-1)
print(res[0])
print(' '.join(res[1]))
global n,m,matrix,pathmatrix
def rec(x, y):
try:
return pathmatrix[x,y]
except:
if x > 0:
left = rec(x - 1, y)
else:
left = (-1,[])
if y > 0:
up = rec(x, y - 1)
else:
up = (-1,[])
maxdist = max(left[0], up[0]) + matrix[x][y]
if left[0] > up[0]:
path = pathmatrix[x - 1,y][1].copy()
path.append('D')
else:
path = pathmatrix[x,y - 1][1].copy()
path.append('R')
pathmatrix[x,y] = (maxdist,path)
return pathmatrix[x,y]
n,m = [int(i) for i in input().split()]
matrix = [[int(i) for i in input().split()] for j in range(n)]
pathmatrix = {(0,0) : (matrix[0][0], [])}
res = rec(n-1,m-1)
print(res[0])
print(' '.join(res[1]))
Объяснение: