На АЗС имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить вероятность отказа, абсолютную пропускную АЗС, среднее число машин, ожидающих заправку, среднее время ожидания машины в очереди, среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).
Давай разберемся с вопросом по порядку.
1. Вероятность отказа:
В данной задаче происходит отказ, когда машины прибывают на станцию и встречают занятую площадку. Поскольку машина будет ехать на соседнюю АЗС, вероятность отказа будет равна вероятности, что машины две подряд (прибывающая и ожидающая на площадке) поступят на станцию в кратчайший промежуток времени.
Поскольку по условию машины прибывают на станцию каждые 2 минуты, вероятность отказа равна вероятности того, что две машины прибудут на станцию в интервал времени менее двух минут.
Применим формулу для нахождения вероятности отказа в случайном процессе Пуассона:
P(отказ) = λ²/(2!×μ²),
где λ - среднее число событий в единицу времени, μ - среднее время на одно событие.
В нашем случае λ = 1/2 (так как машины прибывают каждые 2 минуты) и μ = 2,5 (в среднем одна машина заправляется 2,5 минуты).
Подставляем значения в формулу:
P(отказ) = (1/2)²/(2!×2,5)² = 1/4/10,625 = 1/42,5 = 0,0235 = 2,35%.
Таким образом, вероятность отказа составляет 2,35%.
2. Абсолютная пропускная АЗС:
Абсолютная пропускная способность АЗС - это максимальное число проезжающих машин в единицу времени, которое АЗС может пропустить без отказов.
В нашем случае среднее время на одно событие (заправку) составляет 2,5 минуты. Следовательно, за один час можно обслужить 60/2,5 = 24 машины.
Таким образом, абсолютная пропускная способность АЗС составляет 24 машины в час.
3. Среднее число машин, ожидающих заправку:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения среднего числа ожидающих машин в системе М/М/1/∞:
L (среднее число машин) = λ/(μ-λ),
где λ - среднее число событий в единицу времени, μ - среднее время на одно событие.
Подставляем значения в формулу:
L = 1/2/(2,5-1/2) = 1/2/(2/5) = 5/4 × 2/1 = 5/2 = 2,5.
Таким образом, среднее число машин, ожидающих заправку, составляет 2,5.
4. Среднее время ожидания машины в очереди:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения среднего времени ожидания в системе М/М/1/∞:
W (среднее время ожидания) = λ/(μ(μ-λ)),
где λ - среднее число событий в единицу времени, μ - среднее время на одно событие.
Подставляем значения в формулу:
W = 1/2/(2,5(2,5-1/2)) = 1/2/(2,5(2,5-1/2)) = 1/2/(2,5 × 3/2) = 1/2/(15/4) = 4/15 × 2/1 = 8/15.
Таким образом, среднее время ожидания машины в очереди составляет 8/15.
5. Среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание):
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения среднего времени пребывания в системе М/М/1/∞:
T (среднее время пребывания) = 1/μ,
где μ - среднее время на одно событие.
Подставляем значение в формулу:
T = 1/2,5 = 2/5.
Таким образом, среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание) составляет 2/5.
Надеюсь, ответы были понятны и полезны! Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать их. Я готов помочь!