ПЛЗ 1) За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 83. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 83 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 73.
2) За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 57. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 57 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 51.
Задание 19
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
В задачах такого типа «неудачным» считается такой ход Пети, после которого
1) он проиграет, хотя мог бы выиграть, ИЛИ...
2) он проиграет быстрее (за меньшее число ходов) чем мог бы, если бы старался затянуть игру.
Задание 20.
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
Задание 21
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
К 1 И 2
3) За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 82 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 72.
4) За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 55. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 55 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 45
Задание 19.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Задание 20.
Найдите минимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Задание 21
Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.
ЗАДАНИЕ К 3 И 4
Как нетрудно было догадаться, основной причиной такого выбора стало то, что мое будущее я планирую связать с программированием. Еще со школы я решил, что хочу работать в этой сфере.
Вот несколько фактов, которые практически окончательно убедили меня, что это профессия мне подходит.
Во-первых, программист никогда не останется без работы. Круг его деятельности невообразимо широк. Он нужен везде, на любом современном производстве.
Во-вторых, у программистов достойная заработная плата. Главная причина такого расклада - высокая востребованность представителей данной профессии на производстве. Также, причиной высокой оплаты труда программиста является то, что продукция, в которой он заинтересован, дает большую прибыль: она либо массово покупается, либо дорого стоит, либо и то и другое сразу.
Как видите, мой выбор основан не на каких то пустяках, а на реальной заинтересованности в ней. Ведь - главное, это чтобы работа была тебе по душе!
Конечно, можно такое уравнение решить методом подбора, но это неэффективно.
Минимальное четырехзначное число в системе счисления по любому основанию n записывается как 1000 и оно равно n³. Найдем это n для случая, когда наше число 256 станет четырехзначным: n=∛256 ≈ 6.35.
Следовательно, n не может быть меньше 7.
Вспомним, как мы переводим число из десятичной системы счисления в систему по основанию n. Мы делим наше число "в столбик" на основание системы n, потом записываем остаток, частное снова делим... А в конце к результату приписываем остатки в обратном порядке. Последней цифрой числа буде как раз остаток от первого деления. А у нас по условию он равен 4. Т.е. когда мы разделим 256 на n, то остаток будет равен 4. Тогда число на 4 меньшее, чем 256, должно делиться на n нацело. Начинаем работать с числом 265-4=252.
Разложим его на простые множители: 256=1х2х2х3х3х7. Мы выше отметили, что основание системы n не может быть меньше 7. А у нас как раз есть семерка среди делителей. Попробуем перевести 256 в систему счисления по основанию 7:
256 / 7 = 36, остаток 4 (кто бы сомневался!)
36 / 7 = 5, остаток 1.
Записываем результат: 514₇
И проверяем наше самое первое уравнение.
5х7²+1х7¹+4=5х49+7+4=245+11=256₁₀.
ответ: минимально возможное основание системы счисления- 7
2. 100₇+х=230₅
Поскольку про систему счисления х ничего не сказано, считаем, что она десятичная. Переводим все в десятичную систему и решаем уравнение.
100₇=1х7²=49; 230₅=2х5²+3х5=50+15=65;
49+х=65 ⇒ х=65-49=16
ответ: х=16
3. Вспоминаем написанное в первой задаче. Если число в некоторой системе счисления оканчивается на 5, то оно дает 5 в остатке при делении на основание этой системы счисления. Тогда числа 56-5=51 и 124-5=119 должны делиться нацело на основание системы счисления.
51=1х3х17; 119=1х7х17
НОД обоих чисел равен 17 - это и есть основание системы счисления.
ответ: основание системы счисления равно 17
4. Определение количества единиц в двоичной записи числа
Число 2³⁰⁴² в двоичной системе будет представляться единицей с 3042 нулями. Число 2⁵³⁰ - соответственно единицей с 530 нулями. Вполне понятно, что последние 530 нулей в результате так нулями и останутся. А вот из 531-го справа нуля нужно будет вычитать единицу. как всегда, придется "занимать" единичку из старших разрядов. Для понимания происходящего рассмотрим более короткий пример:
1000000
- 1000
--------------
111000
Мы видим, что начиная с позиции единичного разряда в вычитаемом слева каждый ноль заменился на единицу. В нашем случае в позициях с 531 по 3042 появятся единицы. Их будет 3042-531+1=2512.
Осталось вычесть из результата 12₁₀=1100₂. Тоже посмотрим на "коротком" примере:
100000000
- 1100
-----------------
11110100
В исходном числе была одна единица, а в результате их стало на три меньше, чем было нулей. У нас нулей было 530, следовательно, вместо них станет 530-3=527 единиц
А всего в числе будет 2512+527-1=3038 единиц. Почему отняли одну? Мы ведь для второго вычитания должны были единичку "занять". Вот и получился среди единичек в далеком 531-м разряде ноль.
ответ: 3038 единиц