Решите . в коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. из коробки наугад вынули 2 шарика. какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации? 1. один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего 2. один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного 3. оба вынутых шарика красного цвета 4. оба вынутых шарика черного цвета 5. цвета вынутых шариков отличаются друг от друга 6. вынуты шарики одного и того же цвета
1, 2, 3, 4, 5, 6 ну по-моему так
Изначально в коробке находятся 16 шариков, а нам нужно вынуть 2 из них.
Всего возможно взять из коробки по 2 шарика \(\binom{16}{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 120\) способов.
Теперь рассмотрим каждое из перечисленных сообщений:
1. Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего.
Заметим, что в коробке есть 4 красных и 4 синих шарика. Так как мы хотим вытащить один красный и один синий шарик, то для этого есть \(\binom{4}{1} \cdot \binom{4}{1} = 4 \cdot 4 = 16\) способов. Таким образом, это сообщение несет наибольший объем информации.
2. Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного.
Аналогично предыдущему случаю, для этого сообщения также есть 16 способов выбора, так как в коробке 4 синих и 8 черных шариков.
3. Оба вынутых шарика красного цвета.
Так как в коробке всего 4 красных шарика, то выбрать оба красных шарика можно \(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\) способами.
4. Оба вынутых шарика черного цвета.
Выбрать 2 черных шарика можно \(\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\) способами.
5. Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга.
Для этого случая нужно учесть все комбинации, в которых выбранные шарики будут разных цветов. Если выбрать красный и синий шарики, то есть \(4 \cdot 4 = 16\) способов выбора. Если выбрать синий и черный шарики, то есть \(4 \cdot 8 = 32\) способа. Таким образом, всего \(16 + 32 = 48\) способов.
6. Вынуты шарики одного и того же цвета.
Рассмотрим все возможные варианты выбора шаров одного цвета. Выбор 2 красных шаров: \(\binom{4}{2} = 6\) способов. Выбор 2 синих шаров: \(\binom{4}{2} = 6\) способов. Выбор 2 черных шаров: \(\binom{8}{2} = 28\) способов. Всего \(6 + 6 + 28 = 40\) способов.
По результатам анализа каждого из перечисленных сообщений, можно увидеть, что сообщение под номером 1 (один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего) несет в себе наибольший объем информации, так как число возможных вариантов выбора таких шаров (16) больше, чем во всех остальных случаях.