Робот, оснащённый двумя отдельно управляемыми колёсами одинакового радиуса, проезжает прямолинейную трассу. При этом каждая из осей моторов делает по 64 полных оборота. Колёса напрямую подсоединены к моторам. Левым колесом управляет мотор В, правым колесом управляет мотор С. После этого на роботе поменяли оба колеса на новые, длина окружности которых отличается на 5 см от длины окружности колёс из комплекта. Робот снова проезжает ту же трассу, при этом каждая из осей моторов совершает по 48 полных оборотов. Определите длину трассы. ответ дайте в сантиметрах, округлив результат до целого числа. При расчётах примите пе 3,14. Чтобы получить более точный ответ, округление стоит производить только при получении финального ответа.
Для решения данной задачи мы должны сравнить количество оборотов моторов в двух случаях и найти отношение изменения длины окружности колес к изменению числа оборотов моторов.
Давайте проделаем расчеты шаг за шагом.
Для первого случая, когда робот проезжает трассу и совершает 64 полных оборота каждая из осей моторов, мы можем найти пройденное расстояние (длину трассы).
Пусть r - радиус колеса из комплекта. Тогда длина окружности колеса из комплекта равна 2πr сантиметров.
Так как каждая из осей моторов совершает 64 полных оборота, общее расстояние, пройденное роботом в первом случае, будет равно:
64 * 2πr = 128πr сантиметров.
Далее, во втором случае, после замены колес на новые с длиной окружности, отличающейся на 5 см от длины окружности колес из комплекта, робот совершает 48 полных оборотов каждая из осей моторов.
Пусть R - радиус новых колес. Тогда длина окружности новых колес равна 2πR сантиметров.
Так как каждая из осей моторов совершает 48 полных оборотов, общее расстояние, пройденное роботом во втором случае, будет равно:
48 * 2πR = 96πR сантиметров.
Дано, что длина окружности новых колес отличается от длины окружности колес из комплекта на 5 см. То есть:
2πR - 2πr = 5 см.
Мы можем использовать это равенство для нахождения значения R:
2πR = 2πr + 5.
R = (2πr + 5) / (2π).
Теперь, чтобы найти длину трассы, нам нужно выразить длину трассы в терминах радиуса R.
В первом случае длина трассы равна 128πr, а во втором случае длина трассы равна 96πR.
Мы знаем, что 2πR - 2πr = 5, поэтому можем выразить r через R:
2πR = 2πr + 5.
2πr = 2πR – 5.
r = (2πR – 5) / (2π).
Теперь можем подставить полученные значения в формулы для длины трассы в каждом случае:
Для первого случая (L_1 = 128πr):
L_1 = 128π * [(2πR – 5) / (2π)].
Упрощая выражение, получим:
L_1 = 128(R – 5/(2π)) сантиметров.
Для второго случая (L_2 = 96πR):
L_2 = 96πR сантиметров.
Так как робот проезжает одну и ту же трассу в обоих случаях, длины трассы должны быть одинаковы. Поэтому мы можем приравнять выражения для L_1 и L_2:
128(R – 5/(2π)) = 96R.
Решим это уравнение относительно R:
128R – 640/π = 96R.
128R – 96R = 640/π.
32R = 640/π.
R = (640/π) / 32.
R = 20/π сантиметров.
Теперь мы можем найти длину трассы, подставив значение R обратно в любое из первоначальных выражений:
L_1 = 128(R – 5/(2π)).
L_1 = 128(20/π – 5/(2π)).
Упрощая выражение, получим:
L_1 = 128(10/π – 5/π).
L_1 = 128(5/π).
L_1 = 640/π сантиметров.
Итак, мы получили ответ: длина трассы составляет 640/π сантиметров.
Чтобы упростить ответ, округлим его до целого числа, используя 3,14 для π:
L_1 ≈ 640/3,14 ≈ 204 сантиметра.
Таким образом, длина трассы примерно равна 204 сантиметрам.
Давайте проделаем расчеты шаг за шагом.
Для первого случая, когда робот проезжает трассу и совершает 64 полных оборота каждая из осей моторов, мы можем найти пройденное расстояние (длину трассы).
Пусть r - радиус колеса из комплекта. Тогда длина окружности колеса из комплекта равна 2πr сантиметров.
Так как каждая из осей моторов совершает 64 полных оборота, общее расстояние, пройденное роботом в первом случае, будет равно:
64 * 2πr = 128πr сантиметров.
Далее, во втором случае, после замены колес на новые с длиной окружности, отличающейся на 5 см от длины окружности колес из комплекта, робот совершает 48 полных оборотов каждая из осей моторов.
Пусть R - радиус новых колес. Тогда длина окружности новых колес равна 2πR сантиметров.
Так как каждая из осей моторов совершает 48 полных оборотов, общее расстояние, пройденное роботом во втором случае, будет равно:
48 * 2πR = 96πR сантиметров.
Дано, что длина окружности новых колес отличается от длины окружности колес из комплекта на 5 см. То есть:
2πR - 2πr = 5 см.
Мы можем использовать это равенство для нахождения значения R:
2πR = 2πr + 5.
R = (2πr + 5) / (2π).
Теперь, чтобы найти длину трассы, нам нужно выразить длину трассы в терминах радиуса R.
В первом случае длина трассы равна 128πr, а во втором случае длина трассы равна 96πR.
Мы знаем, что 2πR - 2πr = 5, поэтому можем выразить r через R:
2πR = 2πr + 5.
2πr = 2πR – 5.
r = (2πR – 5) / (2π).
Теперь можем подставить полученные значения в формулы для длины трассы в каждом случае:
Для первого случая (L_1 = 128πr):
L_1 = 128π * [(2πR – 5) / (2π)].
Упрощая выражение, получим:
L_1 = 128(R – 5/(2π)) сантиметров.
Для второго случая (L_2 = 96πR):
L_2 = 96πR сантиметров.
Так как робот проезжает одну и ту же трассу в обоих случаях, длины трассы должны быть одинаковы. Поэтому мы можем приравнять выражения для L_1 и L_2:
128(R – 5/(2π)) = 96R.
Решим это уравнение относительно R:
128R – 640/π = 96R.
128R – 96R = 640/π.
32R = 640/π.
R = (640/π) / 32.
R = 20/π сантиметров.
Теперь мы можем найти длину трассы, подставив значение R обратно в любое из первоначальных выражений:
L_1 = 128(R – 5/(2π)).
L_1 = 128(20/π – 5/(2π)).
Упрощая выражение, получим:
L_1 = 128(10/π – 5/π).
L_1 = 128(5/π).
L_1 = 640/π сантиметров.
Итак, мы получили ответ: длина трассы составляет 640/π сантиметров.
Чтобы упростить ответ, округлим его до целого числа, используя 3,14 для π:
L_1 ≈ 640/3,14 ≈ 204 сантиметра.
Таким образом, длина трассы примерно равна 204 сантиметрам.