только Построить математическую модель линейной оптимизационной задачи, и найти решение задачи с процедуры Поиск решения.
Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последова-тельной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено l0-ю часами в сутки. Время обработки и при-быль от продажи одного изделия каждого вида приведены в табл. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.
Время обработки и прибыль от продажи одного изделия
В данной задаче нам предлагается построить математическую модель линейной оптимизационной задачи и найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.
Для начала введем некоторые обозначения:
x1 - объем производства изделия первого вида,
x2 - объем производства изделия второго вида.
Также, учитывая условие задачи, имеем следующие ограничения:
1) Общее количество времени использования станков ограничено 10 часами в сутки. Тогда сумма времен использования станков для каждого изделия не должна превышать данное ограничение:
2x1 + 3x2 <= 10.
2) Объем производства изделия должен быть неотрицательным:
x1 >= 0,
x2 >= 0.
Теперь определим целевую функцию, которую нужно максимизировать. В данном случае мы хотим максимизировать прибыль от продажи изделий каждого вида. По условию задачи, прибыль от продажи одного изделия первого вида составляет 5000 рублей, а прибыль от продажи одного изделия второго вида - 4000 рублей. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:
Z = 5000x1 + 4000x2.
Итак, мы построили математическую модель линейной оптимизационной задачи:
Максимизировать: Z = 5000x1 + 4000x2,
При ограничениях: 2x1 + 3x2 <= 10,
x1 >= 0,
x2 >= 0.
После построения модели переходим к процедуре поиска решения задачи. Один из методов решения данного типа задач - это графический метод.
Для начала построим график ограничений 2x1 + 3x2 <= 10. Для этого рассмотрим две прямые:
2x1 + 3x2 = 10 => x2 = (10 - 2x1)/3.
Теперь построим координатную плоскость и нарисуем график обоих прямых на ней.
Для удобства мы будем использовать значения x1 и x2, кратные 0.5 (например, 0, 0.5, 1, 1.5 и т.д.).
Полученный график будет представлять собой две линии, ограничивающие область допустимых значений переменных x1 и x2.
Теперь найдем точку пересечения обеих прямых. Она будет являться границей области допустимых решений задачи.
После этого, возьмем некоторую точку внутри области допустимых решений (например, (2, 1)), и подставим ее координаты в целевую функцию. Мы получим значение Z.
Затем возьмем другую точку внутри области допустимых решений (например, (1, 2)), и также подставим ее координаты в целевую функцию. Мы получим другое значение Z.
Сравнивая значения Z, находим точку с наибольшим значением. Это будет оптимальное решение задачи по данной модели.
В данном случае, если посчитать значения Z для точек (2, 1) и (1, 2), то получим Z = 5000*2 + 4000*1 = 14000 и Z = 5000*1 + 4000*2 = 13000 соответственно. Значит, оптимальное решение задачи - производить 2 единицы изделия первого вида и 1 единицу изделия второго вида.
Объяснение:
См. в файлах
Для начала введем некоторые обозначения:
x1 - объем производства изделия первого вида,
x2 - объем производства изделия второго вида.
Также, учитывая условие задачи, имеем следующие ограничения:
1) Общее количество времени использования станков ограничено 10 часами в сутки. Тогда сумма времен использования станков для каждого изделия не должна превышать данное ограничение:
2x1 + 3x2 <= 10.
2) Объем производства изделия должен быть неотрицательным:
x1 >= 0,
x2 >= 0.
Теперь определим целевую функцию, которую нужно максимизировать. В данном случае мы хотим максимизировать прибыль от продажи изделий каждого вида. По условию задачи, прибыль от продажи одного изделия первого вида составляет 5000 рублей, а прибыль от продажи одного изделия второго вида - 4000 рублей. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом:
Z = 5000x1 + 4000x2.
Итак, мы построили математическую модель линейной оптимизационной задачи:
Максимизировать: Z = 5000x1 + 4000x2,
При ограничениях: 2x1 + 3x2 <= 10,
x1 >= 0,
x2 >= 0.
После построения модели переходим к процедуре поиска решения задачи. Один из методов решения данного типа задач - это графический метод.
Для начала построим график ограничений 2x1 + 3x2 <= 10. Для этого рассмотрим две прямые:
2x1 + 3x2 = 10 => x2 = (10 - 2x1)/3.
Теперь построим координатную плоскость и нарисуем график обоих прямых на ней.
Для удобства мы будем использовать значения x1 и x2, кратные 0.5 (например, 0, 0.5, 1, 1.5 и т.д.).
Полученный график будет представлять собой две линии, ограничивающие область допустимых значений переменных x1 и x2.
Теперь найдем точку пересечения обеих прямых. Она будет являться границей области допустимых решений задачи.
После этого, возьмем некоторую точку внутри области допустимых решений (например, (2, 1)), и подставим ее координаты в целевую функцию. Мы получим значение Z.
Затем возьмем другую точку внутри области допустимых решений (например, (1, 2)), и также подставим ее координаты в целевую функцию. Мы получим другое значение Z.
Сравнивая значения Z, находим точку с наибольшим значением. Это будет оптимальное решение задачи по данной модели.
В данном случае, если посчитать значения Z для точек (2, 1) и (1, 2), то получим Z = 5000*2 + 4000*1 = 14000 и Z = 5000*1 + 4000*2 = 13000 соответственно. Значит, оптимальное решение задачи - производить 2 единицы изделия первого вида и 1 единицу изделия второго вида.