Трехзначное число, записанное в системе счисления по основанию 16, увеличивается вчетверо от перестановки последней цифры в начало числа. Чему равно максимальное из таких чисел, записанное в системе счисления по основанию 16? ответ впечатайте без указания основания системы счисления
Пусть исходное трехзначное число записано в формате XYZ, где X - старшая цифра, Y - средняя цифра и Z - младшая цифра.
Согласно условию задачи, если мы переставим последнюю цифру Z в начало, то получим новое трехзначное число ZXY, которое увеличивается вчетверо от исходного числа XYZ.
Мы можем записать это в виде уравнения:
16^2 * Z + 16 * X + Y = 4 * (16^2 * X + 16 * Y + Z)
Теперь давайте разберемся с этим уравнением пошагово:
1. Упрощаем уравнение, раскрывая степени 16:
256Z + 16X + Y = 64X + 16Y + 4Z
2. Сокращаем подобные слагаемые:
252Z + 15X = 15Y
3. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы сократить коэффициенты:
84Z + 5X = 5Y
Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить, пробуя различные значения для Z, X и Y.
Поскольку трехзначное число в системе счисления по основанию 16 не может начинаться с нуля, первое, что мы можем сделать, это попробовать Z = 1.
Подставим Z = 1 в уравнение:
84 * 1 + 5X = 5Y
84 + 5X = 5Y
Существует несколько комбинаций чисел X и Y, которые удовлетворяют этому уравнению:
X = 1, Y = 17
X = 2, Y = 22
X = 3, Y = 27
...
Если мы вычислим соответствующее значение для трехзначного числа XYZ и увеличим его вчетверо, мы получим другое трехзначное число, которое начинается с единицы в шестнадцатеричной системе счисления.
Пример: Пусть X = 1, Y = 17 и Z = 1. Тогда исходное число XYZ будет 117, которое в шестнадцатеричной системе записывается как 75. Увеличим его вчетверо: 4 * 117 = 468, что в шестнадцатеричной системе будет 1D4. Полученное число начинается с цифры 1, что является наибольшим из всех возможных результатов.
Таким образом, максимальное число, записанное в системе счисления по основанию 16, и удовлетворяющее условию задачи, равно 1D4.