Запись некоторого натурального числа х в шестнадцатеричной системе счисления имеет ровно два значащих разряда. это число увеличили в два раза, и оказалось, что запись получившегося числа у в шестнадцатеричной записи также имеет ровно два значащих разряда, причем сумма цифр шестнадцатеричной записи исходного числа х равна сумме цифр шестнадцатеричной записи полученного числа у. сколько существует таких чисел х, которые удовлетворяют указанным условиям? в ответе укажите целое число.
изменяется от 16 до 16*16/2-1=127
к - счетчик
а - младший знак 16-ричной записи числа х
b - старший знак 16-ричной записи числа х
c - младший знак 16-ричной записи числа 2х
d - старший знак 16-ричной записи числа 2х
k:=0
цикл по х от 16 до 127
{
b:= целое(х/16)
a:=x-16*b
d:= целое(2*х/16)
c:=2*x-16*b
если a+b = c+в то k:=k+1
}
ответ к
Шестнадцатиричное число, занимающее два разряда, может рассматриваться как две тетрады двоичных чисел. Пронумеруем разряды слева направо, тогда можно представить двухзначное 16-ричное число следующим набором битов:
Индексы, кроме положения бита, показывают степень двойки, на которую надо умножить бит, чтобы перейти к десятичному эквиваленту шестнадцатиричной цифры, т.е. старшая цифра в десятичной системе запишется как
Умножение числа на 2 в двоичной системе эквивалентно его сдвигу влево на один разряд. При этом старший разряд старшей тетрады должен перейти в новую, третью тетраду или он будет утерян. Но по условию, после умножения число по-прежнему имеет два разряда, следовательно мы должны потерять старший разряд безболезненно, а это возможно только если он нулевой.
Тогда первоначальное число должно быть записано как
а после удвоения его запись примет вид
Запишем сумму цифр исходного числа p1:
Теперь запишем сумму удвоенного числа p2:
По условию эти две суммы равны и мы составляем уравнение:
Полученное уравнение решается на множестве двоичных чисел.
Поскольку исходное число двузначное, по крайней мере в старшем разряде оно содержит цифру, отличную от нуля. Следовательно, b3 не может равняться нулю и остается только положить b3=1. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
Учитывая, что каждый бит может принимать значения только 0 и 1, мы должны найти такие комбинации бит, которые дадут в сумме 7=4+2+1, потому что у нас в уравнении только такие коэффициенты. Сгруппируем члены в (2):
Полученная система уравнений будет иметь 7 вариантов решений (вариант a2=a1=a0=0 исключается в силу необходимости наличия цифры в старшем разряде), которым в старшем разряде будут соответствовать цифры от 001(2) до 111(2) или от 1(10) до 7(10).
ответ: 7
Замечание: Из (3) можно легко найти числа, которые соответствуют заданным условиям: 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 (все в десятичной системе счисления). В 16-ричной системе они запишутся как 1E, 2D, 3C, 4B, 5A, 69, 78.