Вшахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. сколько всего партий было сыграно в этом турнире? решение. способ 1. в одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов (! ! ) ! m n m n c m n ⋅ − = , где n! = 1⋅ 2 ⋅3⋅⋅ n , при n=15, m=2. 105 1 2 14 15 ! 13! 2 ! 15 15(! 2 ! )2 2 ! 15 15 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − c = . в процессе решения исключили 13! из15! , т.е. сократили произведение ! 15 = 1⋅ 2 ⋅3⋅⋅15 на ! 13 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅⋅13, остались после сокращения множители 14 и 15). способ 2. первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий, 9 – 6 10 – 5 11 – 4 12 – 3 13 – 2 14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми. итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий ответ. 105 партий.
Вшахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. сколько всего партий было сыграно в этом турнире? решение. способ 1. в одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен. воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных элементов по m элементов (! ! ) ! m n m n c m n ⋅ − = , где n! = 1⋅ 2 ⋅3⋅⋅ n , при n=15, m=2. 105 1 2 14 15 ! 13! 2 ! 15 15(! 2 ! )2 2 ! 15 15 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ − c = . в процессе решения исключили 13! из15! , т.е. сократили произведение ! 15 = 1⋅ 2 ⋅3⋅⋅15 на ! 13 = 1⋅ 2 ⋅ 3⋅⋅13, остались после сокращения множители 14 и 15). способ 2. первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2- ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 – 10 партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий, 9 – 6 10 – 5 11 – 4 12 – 3 13 – 2 14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми. итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий ответ. 105 партий.
