Чтобы решить данное неравенство (1/25)^(2x) < (корень из 5)^(x^2 + 3,75), мы будем последовательно выполнять следующие шаги.
Шаг 1: Приведение к общему основанию
Мы замечаем, что оба значения в неравенстве находятся в степени. Чтобы облегчить сравнение, приведем их к общему основанию. Зная, что (корень из 5) = 5^(1/2), мы можем переписать неравенство следующим образом:
(1/25)^(2x) < 5^((1/2)*(x^2 + 3,75))
Шаг 2: Упрощение
Мы можем продолжить упрощение, применив свойство степени, гласящее, что (a^b)^c = a^(b*c).
(1/25)^(2x) < 5^(x^2/2 + 3,75/2)
Шаг 3: Переписывание в виде дробей
Теперь мы можем записать обе стороны неравенства в виде дробей:
1/((25)^(2x)) < 1/(5^(x^2/2 + 3,75/2))
Шаг 4: Применение свойства степени
Мы можем применить свойство степени, которое гласит, что (1/a)^b = a^(-b). Применим его ко второй части неравенства:
1/((25)^(2x)) < 5^(-x^2/2 - 3,75/2)
Шаг 5: Приведение к общему основанию
Теперь, чтобы продолжить сравнение, мы приводим оба значения в степени к общему основанию 5:
(5^(-2x)) < 5^(-x^2/2 - 3,75/2)
Шаг 6: Сравнение степеней и решение уравнения
Так как оба значения находятся в степени, мы можем установить соответствие по экспонентам и решить соответствующее уравнение:
-2x < -x^2/2 - 3,75/2
Шаг 7: Упрощение уравнения
Перемножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
-4x < -x^2 - 3,75
Шаг 8: Приводим уравнение к квадратичному виду
Добавим x^2 и 4x к обеим сторонам уравнения:
x^2 + 4x - 3,75 > 0
Шаг 9: Разложение на множители
Разложим левую сторону уравнения на множители:
(x - 0,5)(x + 4) > 0
Шаг 10: Определение знака
Теперь мы можем определить знак каждого множителя:
(x - 0,5) > 0 и (x + 4) > 0
Или
(x - 0,5) < 0 и (x + 4) < 0
Шаг 11: Нахождение значений x
Поочередно решим эти два неравенства:
x - 0,5 > 0 → x > 0,5
x + 4 > 0 → x > -4
Таким образом, мы получили два интервала, на которых будет выполняться исходное неравенство:
1) x > 0,5
2) x > -4
Итак, неравенство (1/25)^(2x) < (корень из 5)^(x^2 + 3,75) будет выполняться при значениях x, больших 0,5 и также больших -4.
Шаг 1: Приведение к общему основанию
Мы замечаем, что оба значения в неравенстве находятся в степени. Чтобы облегчить сравнение, приведем их к общему основанию. Зная, что (корень из 5) = 5^(1/2), мы можем переписать неравенство следующим образом:
(1/25)^(2x) < 5^((1/2)*(x^2 + 3,75))
Шаг 2: Упрощение
Мы можем продолжить упрощение, применив свойство степени, гласящее, что (a^b)^c = a^(b*c).
(1/25)^(2x) < 5^(x^2/2 + 3,75/2)
Шаг 3: Переписывание в виде дробей
Теперь мы можем записать обе стороны неравенства в виде дробей:
1/((25)^(2x)) < 1/(5^(x^2/2 + 3,75/2))
Шаг 4: Применение свойства степени
Мы можем применить свойство степени, которое гласит, что (1/a)^b = a^(-b). Применим его ко второй части неравенства:
1/((25)^(2x)) < 5^(-x^2/2 - 3,75/2)
Шаг 5: Приведение к общему основанию
Теперь, чтобы продолжить сравнение, мы приводим оба значения в степени к общему основанию 5:
(5^(-2x)) < 5^(-x^2/2 - 3,75/2)
Шаг 6: Сравнение степеней и решение уравнения
Так как оба значения находятся в степени, мы можем установить соответствие по экспонентам и решить соответствующее уравнение:
-2x < -x^2/2 - 3,75/2
Шаг 7: Упрощение уравнения
Перемножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
-4x < -x^2 - 3,75
Шаг 8: Приводим уравнение к квадратичному виду
Добавим x^2 и 4x к обеим сторонам уравнения:
x^2 + 4x - 3,75 > 0
Шаг 9: Разложение на множители
Разложим левую сторону уравнения на множители:
(x - 0,5)(x + 4) > 0
Шаг 10: Определение знака
Теперь мы можем определить знак каждого множителя:
(x - 0,5) > 0 и (x + 4) > 0
Или
(x - 0,5) < 0 и (x + 4) < 0
Шаг 11: Нахождение значений x
Поочередно решим эти два неравенства:
x - 0,5 > 0 → x > 0,5
x + 4 > 0 → x > -4
Таким образом, мы получили два интервала, на которых будет выполняться исходное неравенство:
1) x > 0,5
2) x > -4
Итак, неравенство (1/25)^(2x) < (корень из 5)^(x^2 + 3,75) будет выполняться при значениях x, больших 0,5 и также больших -4.