1. чему равен остаток от деления числа 209 на 26. 2. найди значение выражения: 64\7 +6\7 3. в магазин завезли овощи. две девятых всех овощей — помидоры, а пять девятых всех овощей — картофель. сколько килограммов помидоров завезли в магазин, если картофеля завезли 105 кг? 4. какое число надо вписать в окошко, чтобы равенство стало верным? 499+ =705 . 5. от посёлка до города, расстояние между которыми 33 км, велосипедист проехал за полтора часа, а мотоциклист — на час быстрее. на сколько километров в час скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста? 6. для праздника нужно не менее 326 бутылок воды. какое наименьшее количество упаковок придётся купить, если в каждой упаковке по 9 бутылок? 7. найдите значение выражения (1014−38⋅21): 27+139⋅9. ответ: первое действие равно ; второе действие равно ; третье действие равно ; четвёртое действие равно ; пятое действие равно . 8. вадим четыре раза заправлял автомобиль на разных заправочных станциях и записывал объём и стоимость приобретённого бензина. заправочная станция объём бензина общая стоимость «альфанефть» 30 л 1110 руб. «гексан» 20 л 780 руб. «джимойл» 45 л 1890 руб. азс № 5 15 л 525 руб. вадим выбрал заправку, где бензин самый дешёвый. сколько рублей стоит на этой заправке 42 л бензина? только прономеруйте отвееты
ответ:
исследовать функцию y=-x^4+8x^2-9 и построить ее график.
решение:
1. область определения функции - вся числовая ось.
2. функция y=-x^4+8x^2-9 непрерывна на всей области определения. точек разрыва нет.
3. четность, нечетность, периодичность:
так как переменная имеет чётные показатели степени, то функция чётная, непериодическая.
4. точки пересечения с осями координат:
ox: y=0, -x^4+8x^2-9=0, заменим x^2 = n.
квадратное уравнение, решаем относительно n:
ищем дискриминант:
d=8^2-4*(-1)*(-9)=64-4*(-1)*(-9)=64-(-4)*(-9)=64-(-4*(-9))=64-(-(-4*9))=64-(-(-36))=64-36=28;
дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
n₁=(√28-8)/(2*(-1)) = (√28-8)/(-2) = -(2√7/2-8/2)= 4 -√7 ≈ 1,354249;
n₂ = (-√28-8)/(2*(-1)) = (-2√7-8)/(-2)= 4 + √7 ≈ 6,645751.
обратная замена: х = √n.
x₁ = √1,354249 = 1,163722, x₂ = -1,163722.
x₃ = √6,645751 = 2,57793, x₄ = -2,577935.
получаем 4 точки пересечения с осью ох:
(1,163722; 0), (-1,16372; 0), (2,57793; 0), (-2,57793; 0).
x₃ = √6,645751 = 2,57793,
oy: x = 0 ⇒ y = -9. значит (0; -9) - точка пересечения с осью oy.
5. промежутки монотонности и точки экстремума:
y=-x^4+8x^2-9.
y'=0 ⇒-4x³+16x = 0 ⇒ -4x(x²-4) = 0.
имеем 3 критические точки: х = 0, х = 2 и х = -2.
определяем знаки производной вблизи критических точек.
x = -3 -2 -1 0 1 2 3
y' = 60 0 -12 0 12 0 -60.
где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
минимум функции в точке: x = 0.
максимумы функции в точках:
x = -2.
x = 2.
убывает на промежутках (-2, 0] u [2, +oo).
возрастает на промежутках (-oo, -2] u [0, 2).
6. вычисление второй производной: y''=-12х² + 16 ,
найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
вторая производная 4 \left(- 3 x^{2} + 4\right) = 0.
решаем это уравнение
корни этого уравнения
x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}.
7. интервалы выпуклости и вогнутости:
найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
вогнутая на промежутках [-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]
выпуклая на промежутках (-oo, -2*sqrt(3)/3] u [2*sqrt(3)/3, oo)
1) Область определения: x ∈ R, x ≠ 3.
2) Область значений: y ∈ R, y ≤ -24, y > 0.
3) График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 2x² /(- x + 3) = 0.
Решаем это уравнение. Достаточно числитель приравнять нулю.
Точки пересечения с осью Ох: х = 0.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^2)/(3 - x).
у = (2*0^2)/(3 - x) = 0.
Точка: (0, 0).
4) Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции.
Первая производная равна:
Достаточно числитель приравнять нулю: 2x² - 12x = 0.
Решаем это уравнение: 2x(x - 6) = 0.
Корни этого уравнения: х = 0 и х = 6.
Значит, экстремумы в точках: (0, 0), (6, -24).
5) Интервалы возрастания и убывания функции.
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
x = -1 0 1 5 6 7
y' = -0,875 0 2,5 2,5 0 -0,875.
Минимум функции в точке: х = 0.
Максимум функции в точке: х = 6.
Убывает на промежутках (-∞; 0), (6; +∞).
Возрастает на промежутках (0; 3), (3; 6). Это с учётом того, что в точке
х = 3 функция имеет разрыв.
6) Точек перегиба нет.
7) Вертикальная асимптота х = 3.
Горизонтальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^2)/(3 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Значит, уравнение наклонной асимптоты слева:
y = -2x - 6
Возьмём предел, значит, уравнение наклонной асимптоты справа:
y = -2x - 6.
8) Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- Нет.
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.