1) Даны: один конец отрезка А (-4;-3;6) и его середина Е(-3;0;5) . Найдите второй конец отрезка В ( x₂ y₂ z₂)
2) Докажите, что четырехугольник MNKO является параллелограммом, если M (2;1;3), N (1;0;7), K (-2;1;5), O (-1;2;1).
3) На оси z найдите точку P(0;0;z), равноудаленную от двух точек C (-3;2;1) и D (4;-2;0).
4) При каком значении к данные векторы перпендикулярны а (-4;к;2) и в (2;1; 5)
5) Найдите косинус угла между АВ и СD , если А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;-1;0), D (2;-3;1)
x₂ = (x₁ + x₃)/2
y₂ = (y₁ + y₃)/2
z₂ = (z₁ + z₃)/2
где (x₁;y₁;z₁) - координаты одного конца отрезка, (x₂;y₂;z₂) - координаты середины отрезка, (x₃;y₃;z₃) - координаты второго конца отрезка.
Подставляем известные значения:
x₁ = -4, y₁ = -3, z₁ = 6
x₂ = -3, y₂ = 0, z₂ = 5
Подставляем значения в формулу и находим координаты второго конца отрезка:
x₂ = (-4 - x₃)/2
-3 = (-4 - x₃)/2
-6 = -4 - x₃
x₃ = -4 + 6
x₃ = 2
y₂ = (-3 - y₃)/2
0 = (-3 - y₃)/2
0 = -3 - y₃
y₃ = -3
z₂ = (6 + z₃)/2
5 = (6 + z₃)/2
10 = 6 + z₃
z₃ = 10 - 6
z₃ = 4
Таким образом, координаты второго конца отрезка В равны (2;-3;4).
2) Чтобы доказать, что четырехугольник MNKO является параллелограммом, нужно проверить, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны.
Для этого вычислим векторы сторон и сравним их.
Вектор стороны MN:
MN = N - M
MN = (1;0;7) - (2;1;3)
MN = (-1;-1;4)
Вектор стороны KO:
KO = O - K
KO = (-1;2;1) - (-2;1;5)
KO = (1;1;-4)
Вектор стороны MO:
MO = O - M
MO = (-1;2;1) - (2;1;3)
MO = (-3;1;-2)
Вектор стороны NK:
NK = K - N
NK = (-2;1;5) - (1;0;7)
NK = (-3;1;-2)
Сравниваем векторы сторон:
MN = NK
MO = KO
Таким образом, противоположные стороны четырехугольника MNKO равны, что означает, что четырехугольник MNKO является параллелограммом.
3) Чтобы найти точку P, равноудаленную от двух точек C и D на оси z, нужно найти среднее арифметическое z-координат точек C и D.
z = (z₁ + z₂)/2
где z₁ и z₂ - z-координаты точек C и D.
Подставляем известные значения:
z₁ = 1, z₂ = 0
Подставляем значения в формулу и находим z-координату точки P:
z = (1 + 0)/2
z = 1/2
Таким образом, точка P на оси z с координатами (0;0;1/2) равноудалена от точек C и D.
4) Чтобы найти значение к, при котором векторы а (-4;к;2) и в (2;1;5) перпендикулярны, нужно найти их скалярное произведение и приравнять его к нулю:
а · в = (-4;к;2) · (2;1;5) = -4⋅2 + к⋅1 + 2⋅5 = -8 + к + 10 = к + 2
к + 2 = 0
к = -2
Таким образом, при к = -2 данные векторы перпендикулярны.
5) Чтобы найти косинус угла между векторами АВ и СD, нужно воспользоваться формулой вычисления косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (АВ · СD) / (|АВ| ⋅ |CD|)
где АВ · СD - скалярное произведение векторов АВ и СD, |АВ| и |CD| - длины векторов АВ и СD.
Вычисляем скалярное произведение векторов АВ и СD:
АВ · СD = (0;1;-1) · (3;-1;0) = 0⋅3 + 1⋅(-1) + (-1)⋅0 = -1
Вычисляем длины векторов АВ и СD:
|АВ| = √(0²+1²+(-1)²) = √(0+1+1) = √2
|CD| = √(3²+(-1)²+0²) = √(9+1+0) = √10
Подставляем вычисленные значения в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = -1 / (√2 ⋅ √10) = -1 / √(2⋅10) = -1 / √20 = -1 / (2⋅√5) = (-√5) / 10
Таким образом, косинус угла между векторами АВ и СD равен (-√5) / 10.