1) даны точки а(0; 8) и b(4; -5). точка m лежит на прямой ab и известно, что |ам|/|мв|=1/3. найти координаты точки м.
2) даны вершины треугольника а(3; 3), в(2; -1), c(-5; 7). записать уравнения сторон треугольника. сделать чертеж в системе координат.
3) даны вершины треугольника а(3; 3), в(2; -1), c(-5; 7). найти точку пересечения медиан треугольника.
4) даны прямые: 2x – 5y + 2 = 0, 3 - y = 0, 12х +7y = 0, 2x – 5 = 0. построить эти прямые в декартовой системе координат.
7ю5) записать уравнения прямых х– by + 10 = 0; 3х – 3y + 5 = 0;
2/3 х- 1/2 у +8=0 в виде
а) уравнений прямых в отрезках;
б) уравнений прямых с угловым коэффициентом, записать значения угловых коэффициентов.
6) найти угол между прямыми 2х - 3y + 4 = 0 и х - у - 5 = 0.
7) написать уравнение высоты ad треугольника авс, если a(3; 3) в(2; -1) с(-5; 7)
8) даны точки а(3; 3) и в(2; -1). записать уравнение прямой, проходящей через точку c(-5; 7) параллельно прямой ab.
В данном случае, если отношение |АМ|/|МВ| = 1/3, мы можем записать следующее соотношение: |АМ|/|МВ| = |(0-х)/(8-у)| / |(х-4)/(у+5)| = 1/3.
Мы можем упростить это уравнение, умножив крест на крест: (0-х)(у+5) = (8-у)(х-4).
Раскрываем скобки: -ху + 5х + х + 5у = 8х - ух - 4у + 32 - 8у.
Собираем по переменным: 5х + х - 8х + ух - ух + 5у + 4у - 8у = 32.
Упрощаем: -2х - 8у = 32.
Таким образом, у нас получается уравнение прямой, на которой лежит точка М: -2х - 8у = 32.
2) Чтобы записать уравнения сторон треугольника ABC, нам нужно использовать формулу уравнения прямой через две точки: (у1-у2)х + (х2-х1)у + х1 у2 - х2 у1 = 0.
а) Уравнения сторон треугольника ABC:
AB: (3-2)х + (2-3)у + 2(-1) - 3(2) = 0;
BC: (-5-2)х + (7-(-1))у + 3х - 7у = 0;
AC: (-5-3)х + (7-3)у + 5х - 21у = 0.
б) Значения угловых коэффициентов для прямых сторон:
AB: (3-2)/(2-3) = 1/-1 = -1;
BC: (-5-2)/(7-(-1)) = -7/8;
AC: (-5-3)/(7-3) = -8/4 = -2.
3) Чтобы найти точку пересечения медиан треугольника ABC, мы должны найти средние значения координат вершин треугольника.
Средние значения координат х и у:
х_avg = (3 + 2 - 5)/3 = 0;
у_avg = (3 + (-1) + 7)/3 = 3.
Таким образом, точка пересечения медиан треугольника ABC имеет координаты (0, 3).
4) Построение прямых в декартовой системе координат:
Прямая 2х – 5у + 2 = 0:
Перепишем уравнение в виде y = mx + c:
-5у = -2х - 2;
у = (-2х - 2)/-5.
Построим график, выбирая значения для х и соответствующие значения для у.
Прямая 3 - у = 0:
Уравнение уже задано в виде y = mx + c.
Мы заметим, что это уравнение описывает горизонтальную прямую, параллельную оси х и проходящую через точку (3, 0).
Прямая 12х + 7у = 0:
Перепишем уравнение в виде y = mx + c:
7у = -12х;
у = (-12х)/7.
Построим график, выбирая значения для х и соответствующие значения для у.
Прямая 2х - 5 = 0:
Перепишем уравнение в виде y = mx + c:
y = 2/5х - 1.
Построим график, выбирая значения для х и соответствующие значения для у.
5) а) Уравнения прямых в виде отрезков:
х – by + 10 = 0: y = х/б + 10/б;
3х – 3у + 5 = 0: у = х - 5/3;
2/3х- 1/2у + 8 = 0: у = 4/3х - 16.
б) Уравнения прямых с угловым коэффициентом:
х – by + 10 = 0: u = 1/б;
3х – 3у + 5 = 0: u = 1;
2/3х- 1/2у + 8 = 0: u = 4/3.
6) Чтобы найти угол между прямыми, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя прямыми: tan(θ) = |(m1 - m2)/(1 + m1m2)|, где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.
Угол между прямыми 2х - 3у + 4 = 0 и х - у - 5 = 0:
m1 = 2/3, m2 = 1;
θ = arctan(|(2/3 - 1)/(1 + 2/3 * 1)|) = arctan(|(-1/3)/(5/3)|) = arctan(1/5) + π/2.
Таким образом, угол между прямыми равен arctan(1/5) + π/2.
7) Уравнение высоты AD треугольника АВС:
Мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной одной из сторон треугольника.
Учитывая, что точка А имеет координаты (3, 3), и треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, уравнение высоты AD может быть найдено как перпендикуляр к стороне BC.
Уравнение стороны BC: (-5-2)х + (7-(-1))у + 3х - 7у = 0.
Угловой коэффициент стороны BC: (7-(-1))/(-5-2) = 8/-7.
Уравнение высоты AD будет иметь вид: у = (-7/8)х + b.
Для нахождения значения b подставим координаты точки A (3, 3):
3 = (-7/8)(3) + b;
3 = -21/8 + b;
b = 3 + 21/8 = 51/8.
Таким образом, уравнение высоты AD треугольника АВС: у = (-7/8)х + 51/8.
8) Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через точку C(-5, 7) и параллельной прямой AB, мы можем использовать следующую формулу: у = mx + c, где m - угловой коэффициент параллельных прямых, найденный ранее.
Угловой коэффициент прямой AB равен -1.
Значит, угловой коэффициент параллельной прямой будет таким же: m = -1.
Теперь мы можем записать уравнение прямой: у = -1х + c.
Для нахождения значения с, подставим координаты точки C (-5, 7):
7 = -1(-5) + c;
7 = 5 + c;
c = 7 - 5 = 2.
Таким образом, уравнение прямой, которая проходит через точку C(-5, 7) и параллельна прямой AB, будет иметь вид: у = -х + 2.