1) два рабочих работая вместе выполняют задания за 3 часа 20 хв.якщо же сначала один рабочий выполнит треть работы, а затем второй остальных, то работа будет закончена 7 ч. за сколько часов может выполнить работу каждый рабочий работая самостоятельно
2) два аудитора работая вместе провели проверку предприятия за 8 ч. если бы они работали вместе только 2 часа, а потом один из них прекратил бы работу, то второй работая один, закончил проверку за 18 ч. за сколько часов каждый аудитор отдельно мог выполнить всю проверку
3) два завода работая вместе могут выполнить заказ за 6 дней если заводы будут работать вместе только половину этого срока после чего один завод прекратит работу то другому завода для завершения работы потребуется еще 5 дней. за сколько дней может выполнить заказ каждый завод в отдельности

Условие

Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причём AE:AM=2:1 , BF:BK=3:2 . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Диагонали BC и AE четырёхугольника ABEC точкой пересечения M делятся пополам, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, а т.к. он вписан в окружность, то это прямоугольник. Следовательно, BAC = 90o . Пусть FK=t , BK=2t , AK=KC=x . По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд AK· KC=BK· KF , или x2=2t· t = 2t2 , откуда x=t . Из прямоугольного треугольника ABK находим, что

sin ABK = = = = ,

поэтому ABK = 45o . Тогда AB=AK=x . Следовательно,

tg ABC = = = 2.

ответ

90o , arctg 2 , 90o- arctg 2 .

Источники и прецеденты использования

AM– медиана Δ АВС, значит BM=MC, M – середина ВС.

ВK– медиана Δ АВС, значит AK=KC, K – середина АС.

Значит KM – средняя линия Δ АВС:

KM || AB

KM=(1/2)AB.

По условию AE:AM=2:1 ⇒ AM=ME и M – середина AE

Значит, KM – средняя линия Δ АСЕ:

KM || СЕ

KM=(1/2)СЕ.

AB || KM || CE ⇒ AB || CE

б)

AB=CE=2KM

Значит и дуги АВ и СЕ, стягиваемые равными хордами равны.

рис.3

∠САЕ= ∠ BCA как углы, опирающиеся на равные дуги.

Δ АМС – равнобедренный.

MС=MA.

Так как

MA=ME, то

MC=MA=ME и поэтому

M– центр окружности, описанной около треугольника АСЕ.

а значит и около треугольника АВС.

MС=MB

MC=MA

MC=MB=MA

∠ A=90o

BC и АЕ – диаметры.

Обозначим MC=MB=MA=ME=R

KF=x, по условию BF:BK=2:3 , значит BK=2x

Медианы АМ и BK пересекаются в точке D.

AD:DM=2:1

BD:DK=2:1

AD=(2/3)R; DM=(1/3)R

BD=(4/3)x; DK=(2/3)x

DF=DK+KF=(2/3)x+x=(5/3)x

DE=DM+ME=(1/3)R+R=(4/3)R

По свойству пересекающихся хорд:

BD·DF=AD·DE

(4/3)x·(5/3)x=(2/3)R·(4/3)R

x2=(2/5)R2

Из Δ MDB по теореме косинусов:

DB2=MD2+MB2–2MD·MB·cos ∠ BMD

⇒

cos ∠ BMD=((R/3)2+R2–(4/3x)2)/(2·(R/3)·R)=

=((10R2/9)–(16/9)·(2/5)R2)/(2·R2/3)= (18/45)·(3/2)=0,6

По теореме косинусов из Δ АМВ

АВ2=R2+R2–2R·R·0,6

AB=R·√0,8

sin ∠ C =AB/CB=√0,8/2=√0,2=1/√5

∠ C= arcsin(1/√5)

sin ∠ B= cos ∠ C= 2/√5

∠ B= arcsin(2/√5)

tg∠ B=sin∠ B/cos∠ B=2; tg∠ C=1/2

О т в е т. 90o; arcsin(1/√5);arcsin(2/√5)

или

90o; arctg2 и arctg(1/2)