1. Иррационал сан деп қандай санды айтады? 2. Иррационал санның кемімен және артығымен алынған ондық жуық-
таулары деп қандай сандарды айтады? Мысал келтіріңдер.
3. 2 санының рационал сан болмайтынын дәлелдеңдер.
4. Қандай сандарды нақты сандар деп атайды?
5. Нақты сандар жиыны деп қандай сандар жиынын айтады?
Оны қалай белгілейді?
6. Натурал, бүтін, рационал сандар және нақты сандар жиындарын қалай
белгілейді? Оларды Эйлер — Венн диаграммасы көмегімен кескіндеп көр-
сетіңдер.
Пошаговое объяснение:
Так как по условию число выстрелов не ограничено, то случайная величина X - число сделанных выстрелов - может принимать значения от 1 до ∞. Найдём соответствующие вероятности:
p1=0,05; p2=(1-0,05)*0,5; ... pn=0,05*(1-0,05)^(n-1); ...
Проверка: данные вероятности составляют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом b1=p1 и знаменателем q=(1-p)=0,95. Её сумма ∑pi=p1(1-q)=0,05/0,05=1 - значит, вероятности найдены верно.
а) составляем закон распределения случайной величины X:
xi 1 2 ... n ...
pi 0,05 0,05*(1-0,05) 0,05*(1-0,05)^(n-1)
б) находим математическое ожидание:
M[X]=∑xi*pi=p1+2*p2+...+n*pn+...
Для нахождения суммы данного ряда запишем ряд для вероятностей ∑pi в виде: ∑pi=∑p1*z^(n-1), где z=1-0,05, и продифференцируем его:
d/dz∑pi=∑p1*(n-1)*z^(n-2)=p1+2*p1*z+3*p1*z²...+n*p1*z^(n-1)+...
Так как ∑pi=p1/(1-z), то d/dz∑pi=[p1/(1-z)]'=p1/(1-z)². А теперь замечаем, что p1*z=p2, p1*z²=p3,..., p1*z^(n-1)=pn. Отсюда следует, что M[X]=d/dz∑pi=p1/(1-z)²=0,05/(0,05)²=1/0,05=20.
Теперь находим дисперсию. Используем формулу:
D[X]=M[X²]-M²[X]. Найдём M[X²]:
M[X²]=∑n²*pn=∑n²*p1*z^(n-1). Для нахождения суммы данного ряда возьмём ряд для M[X] и продифференцируем его:
d/dz∑n*p1*z^(n-1)=∑p1*n*(n-1)*z^(n-2)=∑p1*(n²-n)*z^(n-2)=∑p1*n²*z^(n-2)-∑p1*n*z^(n-2). Умножая теперь это равенство на z, получаем: z*dM[X]/dz=∑p1*n²*z^(n-1)-∑p1*n*z^(n-1). Отсюда ∑p1*n²*z^(n-1)=z*dM[X]/dz+∑p1*n*z^(n-1). Но так как М[X]=p1/(1-z)², то dM[X]/dz=2*p1/(1-z)³, откуда z*dM[X]/dz=2*p1*z/(1-z)³=760. Отсюда M[X²]=760+20=780 и D(X]=780-20²=380.
в) пусть событие А состоит в том, что поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов. Рассмотрим противоположное событие В - потребуется менее 5 выстрелов. Так как события А и В несовместны и притом образуют полную группу, то P(A)+P(B)=1, откуда P(A)=1-P(B). Но P(B)=p1+p2+p3+p4=0,18549375. Отсюда P(A)=0,81450625.
1) Взаимно простые числа - такие, что не имеют общих делителей, кроме 1. Для них НОК - просто произведение:
3, 4: НОК(3, 4) = 12
3, 7: НОК(3, 7) = 21
3, 8: НОК(3, 8) = 24
4, 7: НОК(4, 7) = 28
4, 9: НОК(4, 9) = 36
6, 7: НОК(6, 7) = 42
7, 8: НОК(7, 8) = 56
7, 9: НОК(7, 9) = 63
8, 9: НОК(8, 9) = 72
2) Эти числа должны иметь вид x, n*x. Максимальное число, на которое делится каждое из них, равно x, а минимальное число, которое делится на каждое из них равно n*x.
3, 6: НОД(3, 6) = 3; НОК(3, 6) = 6
3, 9: НОД(3, 9) = 3; НОК(3, 9) = 9
4, 8: НОД(4, 8) = 4; НОК(4, 8) = 8
3) Сюда подойдут все пары, выписанные в пункте 2. Остальные пары:
4, 6: НОД(4, 6) = 2; НОК(4, 6) = 12
6, 8: НОД(6, 8) = 2; НОК(6, 8) = 24
6, 9: НОД(6, 9) = 3; НОК(6, 9) = 18
Пример вычисления для НОД и НОК пары 6 и 9:
Раскладываем на простые множители: 6 = 2 * 3, 9 = 3 * 3
НОД - произведение всех простых множителей, входящих одновременно в оба разложения. НОД(6, 9) = 3
НОК - произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно разложение. НОК(6, 9) = 2 * 3 * 3 = 18.
Для упрощения жизни можно заметить, что для пары чисел x и y верно равенство: НОД(x, y) * НОК(x, y) = xy. Тогда, например, вычислив, что НОД(6, 9) = 3, сразу находим, что НОК(6, 9) = 6 * 9 / НОД(6, 9) = 54 / 3 = 18