1. Какое из следующих утверждений неверно?
а) длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ;
б) нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору;
в) разностью векторов а и b называется такой вектор. сумма которого с вектором b
равна вектору а;
г) векторы называются равными, если равны их длины.
2. У выражение:СС1+СВ+СД+А1В1, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
а) AC ; б) 0 ; в) СВ1; г) DC ; д) BA .
3. Какие из следующих утверждений верны?
а) противоположные векторы равны;
б) Векторы, лежащие на двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, коллинеарны
в) произведение вектора на число является число;
г) Для сложения двух векторов на плоскости используют правило параллелограмма.
4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Найдите угол между DC1 и СВ.
а) 45о; б) 30о; в) 135о ; г) 90о ; д) 60о .
5. Какие из следующих утверждений неверны?
а) векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же
точки они будут лежать в одной плоскости;
б) если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb,
где х, y- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны;
в) для сложения трёх некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда;
г) любые два вектора компланарны;
6. Диагонали куба АВСД А1В1С1Д1 пересекаются в точке О . Найдите число µ из равенства
ДВ1= µОВ1.
7.Известно, что 2 AC = AB + AD , тогда векторы AB, AD являются:
а) некомпланарными; б) сонаправленными; в) коллинеарными;
г) нулевыми; д) компланарными.
8. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы BB1, CC1, DD1:
а) нулевые; б) равные; в) противоположные; г) компланарные; д) некомпланарные.
9. Найдите соответствие , если А(х,у, z), а В(х1;у1, z1)
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой АВ, если А(-1,2,1), В(-3,1,-2).
11. Площадь треугольника равна 8. Угол между плоскостью треугольника и его ортогональной проекцией равен 45о. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника.
Критерии отметки: за каждый правильный ответ даётся по ; максимальное количество 11.
– «5»;
9- – «4»;
6- – «3»;
менее – «2».
Тест по теме «Векторы и координаты в Вариант 2.
1. Какое из следующих утверждений неверно?
а) длиной нулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ ;
б) любая точка рассматривается как нулевой вектор;
г) для любых векторов а и b выполняется равенство а+(- b)= а-b;
д) векторы называются равными, если они сонаправлены и равны их длины.
2. У выражение:В1В+В1С1+В1А1+ДС, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
а) B1A1; б) 0 ; в) CC1; г) CA; д) B1C .
3. Какие из следующих утверждений верны?
а) любые два вектора компланарны.
б) если векторы a и b коллинеарны и а≠0, то существует такое число k, что b=ka;
в) векторы называются равными, если они сонаправлены;
г) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены;
4. Дан куб ABCДA₁B₁C₁Д1 . Найдите угол между СВ1 и ВА1
|а) 45о ; б) 30о ; в) 100о ; г) 90о ; д) 60о .
5. Какие из следующих утверждений неверны?
а) три вектора будут компланарными, если один из них нулевой;
б) если векторы a, b и с компланарны, то вектор d можно разложить по векторам а, b и с
т.е. представить в виде d=ха+yb+zc, где х, y, z- некоторые числа;
в) для сложения трёх компланарных векторов используют правило параллелограмма;
г) любые два вектора коллинеарны.
6. Диагонали куба АВСД А1В1С1Д1 пересекаются в точке О . Найдите число µ из равенства
С1О= µАС1.
7. Известно, что 2 AC = – AB - AD , тогда векторы AB, AD являются:
а) компланарными; б) некомпланарны; в) коллинеарными; г) сонаправлены; д)
нулевые.
8. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы B1B , C1C , D1D :
а) нулевые; б) равные; в) компланарные; г) некомпланарные;
д) противоположные.
9. Найдите соответствие, если если А(х,у, z), а В(х1;у1, z1)
10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной прямой ВС, если В(-1,-2,2), С(7,0,-9).
11. Площадь ортогональной проекции параллелограмма равна 7. Найдите площадь самого параллелограмма, если угол между плоскостями данных многоугольников равен 60о.
Критерии отметки: за каждый правильный ответ даётся по ; максимальное количество 11.
– «5»;
9- – «4»;
6- – «3»;
менее – «2».
1) д (должны совпадать и направления)
2. У выражение:
, если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.
2. Выражение СС1+СВ+СД+А1В1 в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ равно СВ1. Обоснование: В параллелепипеде, диагонали которого пересекаются в точке О, отрезок СС1 будет параллелен СВ1 и будет иметь равную длину, поэтому сумма всех векторов в выражении исчезает кроме СВ1.
3. Верные утверждения: а) противоположные векторы равны; Обоснование: Противоположными называются два вектора, которые имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Их сумма равна нулевому вектору. г) Для сложения двух векторов на плоскости используют правило параллелограмма. Обоснование: Для сложения двух векторов на плоскости можно построить параллелограмм, в котором сторонами будут данные векторы, а диагональ параллелограмма будет равна их сумме.
4. Угол между DC1 и СВ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 45°. Обоснование: В кубе, диагонали которого пересекаются в точке О, ВС и DC1 будут диагоналями грани куба, и так как все грани куба являются квадратами, то угол между диагоналями будет равен 45°.
5. Неверные утверждения: а) векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости; Обоснование: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, независимо от точки отсчета. б) если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны; Обоснование: Векторы будут компланарными только в том случае, если v можно представить в виде с=ха+yb+zc, где х, y, z- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны. г) для сложения трёх некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда; Обоснование: Для сложения трех некомпланарных векторов используется правило приаприста, при котором параллелограммом становится призма, а не параллелепипед. Верное утверждение: любые два вектора компланарны.
6. Число µ, равное ДВ1/ОВ1, будет равно 1. Обоснование: В кубе, диагонали которого пересекаются в точке О, ДВ1 и ОВ1 будут диагоналями одной грани куба, значит их отношение будет равно 1.
7. Векторы AB и AD являются некомпланарными. Обоснование: Если 2AC = AB + AD, то тройка векторов AB, AD, AC не компланарна.
8. Векторы BB1, CC1, DD1 нулевые. Обоснование: В параллелограммах ABCD и AB₁C₁D₁ диагонали параллелограммов дают нулевые векторы.
9. Соответствие между векторами А(х, у, z) и B(х1, у1, z1) будет харектеризовано формулой B = A + B₁ - A₁. Обоснование: Для нахождения соответствия между векторами A(х, у, z) и B(х1, у1, z1) необходимо из начала вектора A провести векторы A₁ и B₁, затем провести вектор B₁ из начала A₁. Тогда для нахождения вектора B достаточно сложить векторы A и B₁, а из них вычесть вектор A₁.
10. Уравнение плоскости, проходящей через точку А(-1,2,1) и перпендикулярной прямой АВ, будет иметь вид 5x - 6y - 11z - 24 = 0. Обоснование: Прямая АВ задается вектором v = B - A, тогда уравнение плоскости может быть записано в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - координаты нормального вектора плоскости, D - свободный член. Подставляя в данное уравнение координаты точки А и координаты вектора АВ, получаем значение свободного члена -24.
11. Площадь ортогональной проекции треугольника будет